Problema nº 6 de casos de factoreo o factorización, sumar fracciones de expresiones algebraicas - TP03

Enunciado del ejercicio nº 6

Sumar la siguiente fracción y simplificar el resultado:

1 - 2·x	+	1	+	2	=
x³ - 27		x² - 6·x + 9		x² - 9

Antes de sumar las fracciones factorizamos los denominadores para luego simplificar y hallar el denominador común:

1 - 2·x	+	1	+	2	=
x³ - 27		x² - 6·x + 9		x² - 9

=	1 - 2·x	+	1	+	2	=
	x³ - 3³		x² - 6·x + 9		x² - 9

Expresamos el denominador del segundo monomio como un binomio al cuadrado, ya que es un trinomio cuadrado perfecto:

=	1 - 2·x	+	1	+	2	=
	x³ - 3³		(x - 3)²		x² - 9

Expresamos el denominador del tercer monomio como diferencia de cuadrados:

=	1 - 2·x	+	1	+	2	=
	x³ - 3³		(x - 3)²		x² - 3²

Siendo:

(x³ - 3³) = (x - 3)·(x² + x·3 + 3²)

=	1 - 2·x	+	1	+	2	=
	(x - 3)·(x² + x·3 + 3²)		(x - 3)²		(x - 3)·(x + 3)

Extraemos factor común (x - 3) de los denominadores:

=	1	·(	1 - 2·x	+	1	+	2	) =
	x - 3		x² + x·3 + 3²		x - 3		x + 3

El divisor común es:

(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Sumamos las fracciones:

=	1	·[	(1 - 2·x)·(x - 3)·(x + 3) + 1·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²) + 2·(x - 3)·(x² + x·3 + 3²)	] =
	x - 3		(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Aplicamos la propiedad distributiva en el numerador:

=	1	·[	(1 - 2·x)·(x² - 9) + (x + 3)·(x² + x·3 + 9) + 2·(x³ - 27)	] =
	x - 3		(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

=	1	·[	x² - 9 - 2·x³ + 18·x + x³ + 3·x² + 9·x + 3·x² + 9·x + 27 + 2·x³ - 54	] =
	x - 3		(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Agrupamos y sumamos los términos de igual grado:

=	1	·[	-2·x³ + x³ + 2·x³ + x² + 3·x² + 3·x² + 18·x + 9·x + 9·x + 27 - 9 - 54	] =
	x - 3		(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

=	1	·[	x³ + 7·x² + 36·x - 36	] =
	x - 3		(x - 3)·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

El resultado es:

=	x³ + 7·x² + 36·x - 36
	(x - 3)²·(x + 3)·(x² + x·3 + 3²)

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo sumar fracciones de expresiones algebraicas