Problema nº 3 de casos de factoreo o factorización, factorizar y simplificar - TP06
Enunciado del ejercicio nº 3
Reducir a su más simple expresión.
| x³ - 27 | = |
| x⁴ - 81 |
Solución
Factorizamos los números enteros en factores primos:
| x³ - 27 | = | x³ - 3³ |
| x⁴ - 81 | x⁴ - 3⁴ |
En el numerador tenemos una diferencia de potencias de igual grado con exponente impar, es divisible por "x - 3".
En el denominador tenemos una diferencia de potencias de igual grado con exponente par, es divisible por "x + 3" y por "x - 3", inicialmente optamos por dividirlo por "x - 3".
Dividimos numerador y denominador por "x - 3":
| x³ | 0 | 0 | - 27 | x - 3 |
| -x³ | +3·x² | x² + 3·x + 9 | ||
| 0 | +3·x² | |||
| -3·x² | +9·x | |||
| 0 | +9·x | -27 | ||
| -9·x | +27 | |||
| 0 | 0 |
x³ - 27 = (x - 3)·(x² + 3·x + 9)
| x⁴ | 0 | 0 | 0 | -81 | x - 3 |
| -x⁴ | +3·x³ | x³ + 3·x² + 9·x + 27 | |||
| 0 | +3·x³ | ||||
| -3·x³ | +9·x² | ||||
| 0 | +9·x² | ||||
| -9·x² | +27·x | ||||
| 0 | +27·x | -81 | |||
| -27·x | +81 | ||||
| 0 | 0 |
x⁴ - 81 = (x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27)
Reemplazamos:
| x³ - 27 | = | (x - 3)·(x² + 3·x + 9) |
| x⁴ - 81 | (x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27) |
Simplificamos:
| x³ - 27 | = | (x - 3)·(x² + 3·x + 9) |
| x⁴ - 81 | (x - 3)·(x³ + 3·x² + 9·x + 27) |
| x³ - 27 | = | x² + 3·x + 9 |
| x⁴ - 81 | x³ + 3·x² + 9·x + 27 |
Ahora dividimos el denominador por "x + 3":
| x³ | +3·x² | +9·x | +27 | x + 3 |
| -x³ | -3·x² | x² + 9 | ||
| 0 | 0 | +9·x | +27 | |
| -9·x | -27 | |||
| 0 | 0 |
x³ + 3·x² + 9·x + 27 = (x + 1)·(x² + 9)
Expresamos el resultado:
| x³ - 27 | = | x² + 3·x + 9 |
| x⁴ - 81 | (x + 1)·(x² + 9) |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo factorizar y simplificar