Operaciones con funciones

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f·g)(x) = f(x)·g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a·f)(x) = a·f(x)

Ejemplos de operaciones con funciones

Ejemplo nº 1

Sean las funciones:

f(x) = 3·x + 1

g(x) = 2·x - 4

Definir la función (f + g) y calcular las imágenes de los números 2, -3 y ⅕.

Solución

La función f + g se define como:

∘ (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2·x - 4 = 5·x - 3

∘ (f + g)(2) = 5·2 - 3 = 7

∘ (f + g)(-3) = 5·(-3) - 3 = -18

∘ (f + g)(⅕) = 5·⅕ - 3 = -2

Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo.

Por ejemplo, para la imagen del 2,

Ejemplo nº 2

Dadas las funciones:

f(x) = x² - 3

g(x) = x + 3

Definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de ⅓, -2 y 0 mediante la función f - g.

Solución

∘ (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6

∘ (f - g)⅓ = ⅓² - ⅓ - 6 = -56/9

∘ (f - g)(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = -0

∘ (f - g)(0) = (0)² - 0 - 6 = -6

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.

Ejemplo nº 3

Dadas las funciones:

f(x) = x/2 - 3

g(x) = 2·x + 1

Definir la función f·g.

Solución

(f·g)(x) = f(x)·g(x) = (x/2 - 3)·(2·x + 1) = x² - 11·x/2 - 3

Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados.

Ejemplo nº 4

Dadas las funciones

f(x) = -x - 1

g(x) = 2·x + 3

Definir f/g.

Calcular las imágenes de los números - 1, 2 y 3/2 mediante f/g.

Solución

(f/g)(x) = f(x)/g(x) = (-x - 1)/(2·x + 3)

La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula.

∘ (f/g)(-1) = 0/1 = 0

∘ (f/g)(2) = -3/7

∘ (f/g)(3/2) = (-5/2)/6 = -5/12

Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados.

Ejemplo nº 5

Dada la función f(x) = x² + x - 2, calcular 3·f y f/3.

Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3·f.

Solución

∘ (3·f)(x) = 3·f(x) = 3·(x² + x - 2) = 3·x² + 3·x - 6

∘ ⅓·f(x) = ⅓·(x² + x - 2)

∘ (3·f)(2) = 3·2² + 3·2 - 6 = 12

∘ (3·f)(1) = 3·1² + 3·1 - 6 = 0

∘ (3·f)(0) = 3·0² + 3·0 - 6 = -6

Composición de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de ℜ en ℜ, por (g o f)(x) = g[f(x)].

La función (g o f)(x) se lee «f compuesto con g aplicado a x».

x ⟶ f(x) ⟶ g[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1) Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2) Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Ejemplos de composición de funciones

Ejemplo nº 1

Sean las funciones:

f(x) = x + 3

g(x) = x²

Calcular g o f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3.

Solución

(g o f)(x) = g[f(x)] = g[(x + 3)] = (x + 3)²

x ⟶ f(x) = x + 3 ⟶ g[f(x)] = g(x + 3) = (x + 3)²

La imagen de dos números 1, 0, -3, mediante la función g o f es:

∘ (g o f)(1) = g[f(1)] = g(1 + 3) = g(4) = 4² = 16

∘ (g o f)(0) = g[f(0)] = g(0 + 3) = g(3) = 3² = 9

∘ (g o f)(-3) = g[f(-3)] = g(-3 + 3) = g(0) = 0² = 0

Ejemplo nº 2

Dadas las funciones:

f(x) = x² + 1

g(x) = 3·x - 2

Calcular:

a) (g o f)(x)

b) (f o g)(x)

c) (g o f)(1) y (f o g)(-1)

d) El original de 49 para la función g o f

Solución

a)

La función g o f está definida por:

x ⟶ f(x) = x² + 1 ⟶ g[f(x)] = g(x² + 1) = 3·(x² + 1) - 2 = 3·x² + 3 - 2 = 3·x² + 1

b)

La función f o g está definida por:

x ⟶ g(x) = 3·x - 2 ⟶ f[g(x)] = (3·x - 2)² + 1 = 9·x² + 4 - 12·x + 1 = 9·x² - 12·x + 5

Obsérvese que g o f ≠ f o g.

c)

Aplicando los resultados de los apartados anteriores:

(g o f)(1) = 9·1² - 12·1 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2

(g o f)(-1) = 9·(-1)² - 12·(-1) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26

d)

El original de 49 para la función g o f será un número x, tal que (g o f)(x) = 49.

(g o f)(x) = 3 x² + 1 = 49. Basta con resolver esta ecuación.

3·x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ±4

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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