Teoremas de las funciones

Teorema de Bolzano

Todo conjunto infinito (con infinitos elementos) y acotado de números reales tiene algún punto de acumulación.

• Demostración:

Sea A ⊂ ℜ infinito y acotado, esto último significa que A ⊂ [a, b]. Consideramos el conjunto C = {x ⊂ ∪ / hay infinitos elementos de A mayores que x}. C es no vacío, a ⊂ C, C es acotado superiormente, b es cota superior de C. Por el TFO existe p = superior C.

Vamos a ver que p es punto de acumulación de A.

En efecto, si en ]p - r, p + r[ (con r > 0), solo hubiera finitos elementos de A, p - r sería una cota superior de C más pequeña que p, con lo que p no sería supremo de C

Nótese que a la derecha de p+r sólo puede haber finitos elemento de A, o p no sería cota superior de C.

Otra demostración:

A ⊂ [a, b]

Dividimos [a, b] por la mitad y llamamos [x₁, y₁] al intervalo de los que tiene infinitos elementos de A (a lo sumo son los dos y llamamos [x₁, y₁] a un de ellos)

Dividimos [x₁, y₁] por la mitad y llamamos [x₂, y₂] al intervalo de los dos que tenga infinitos elementos. Repetimos indefinidamente este proceso.

No es difícil ver que α = superior {xₙ/n ⊂ N} = inf. {yₙ/n ⊂ N}, qi que x es punto de acumulación de A.

Ejemplos de aplicación del teorema de Bolzano

Ejemplo nº 1

Ese teorema es falso en Q. Por ejemplo el conjunto infinito acotado {1; 1,4; 1,41; 1,414; …} de números racionales no tiene en Q ningún punto de acumulación (tampoco tenía supremo).

En ℜ es conjunto si tiene punto de acumulación, √2

El conjunto N es infinito pero no acotado. No tiene ningún punto de acumulación.

Definición:

Diremos que {Gᵢ / i ⊂ I} es un recubrimiento de A ⊂ ℜ, cuando A ⊂ ∪ Gᵢ

Se dice que es un recubrimiento abierto cuando todos los Gᵢ son abiertos.

• Proposición "Lindelof":

Cualquiera que sea el conjunto A ⊂ ℜ y cualquiera que el recubrimiento abierto, infinito no numerable {Gᵢ / i ⊂ I} de A, existen i₁, i₂, …… ⊂ I (finitos numerables índices) tales que

{Gᵢₖ / k = 1, 2, …} es también recubrimiento de A. En otras palabras, de todo recubrimiento abierto (infinito no numerable) de A, se puede extraer un subrecubrimiento finito numerable.

Ejemplo nº 2

{{x} / x ⊂ ℜ} es recubrimiento (no abierto) de ℜ, que es no numerable (ℜ no es numerable) y del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento (ni numerable ni no), no se puede quitar ni uno, so pena de que deje de ser numerable.

R ⊂ U {x}

• Demostración:

Sea {Gᵢ / i ⊂ I} un recubrimiento abierto, infinito no numerable de A. Entonces, ∀ x ⊂ A existe iₓ ⊂ I tal que x ⊂ Gᵢₓ. Como Gᵢₓ es abierto, existe rₓ > 0 tal que]x - rₓ, x + rₓ[ ⊂ Gᵢₓ Como Q es denso en ℜ existen pₓ, qₓ ⊂ Q tal que x - rₓ < pₓ < x < qₓ < x + rₓ

Evidentemente {]pₓ, qₓ[/ x ⊂ A} que es finito o numerable (Q×Q lo es) recubre a A. Basta asociar a cada ]pₓ, qₓ[ uno de los Gᵢ que lo contiene para obtener el recubrimiento buscado

Ejemplo nº 3

Sabemos que un conjunto es abierto si sólo si es unión de intervalos abiertos (los intervalos abiertos son la base de la topología de ℜ). Ver que todo abierto se puede obtener como unión de intervalos abiertos de la forma ]a, b[, con a, b ⊂ Q, a < b. Como el conjunto de esos intervalos es numerable (Q×Q), resulta que todo ℜ se puede obtener como unión de intervalos abiertos.

Definición:

Un conjunto A ⊂ ℜ se dice compacto cuando de todo recubrimiento abierto de él se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Ejemplos de conjuntos no compactos:

Un recubrimiento de N del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito es:

{]n - ½, n + ½[/n ⊂ N} Basta quitar uno para que deje de ser recubrimiento.

{]n - 7, n + 7[/n ⊂ N} podríamos quitar bastantes, pero finitos de ellos no recubren.

{]-1, n[/n ⊂ N} podemos quitar todos los que queramos, dejando infinitos sigue siendo un recubrimiento, pero finitos de ellos no son recubrimiento.

Un ejemplo de conjuntos compactos son los conjuntos finitos.

A = {1/n /n ⊂ N} no es compacto

Un recubrimiento abierto de él, del que se puede extraer un subrecubrimiento finito es, por ejemplo:

{]1/n, 2[/n ⊂ N}

Nótese que si quitamos los que sean (finitos o infinitos), pero dejando infinitos, eso sigue siendo un recubrimiento. Pero si dejamos sólo finitos, deja de ser recubrimiento.

Un recubrimiento del que no se puede quitar ninguno es por ejemplo:

{]1/n - ½·n·(n + 1), 1/n + ½·n·(n + 1)[/n ⊂ N}

Si es compacto, sin embargo, el conjunto {1/n /n ⊂ N} ∪ {0}, es compacto porque si {Gᵢ /i ⊂ I} es un recubrimiento de él, entonces existe i₀ tal que 0 ⊂ Gᵢ₀

Pues bien, como la sucesión (1/n) es convergente a 0 y Gᵢ₀ es abierto, es decir, contiene algún intervalo de la forma ]-ε, ε[, con ε > 0, resulta que están "todos salvo finitos" lo xₙ's. Un subrecubrimiento finito viene dado, entonces por Gᵢₒ y una "boina" para cada uno de sus finitos.

Teorema: (Bolzano-Weierstrass, Heine-Bozel-Lebesgre)

Sea A ⊂ ℜ. Son equivalentes las siguientes proposiciones:

1) A es cerrado y acotado

2) Toda parte infinita de A tiene un punto de acumulación que está en A

3) A es compacto

Hemos tomado la propiedad de Heine-Bozel-Lebesgre (la más complicada de las tres) como definición de conjunto compacto porque esa es la definición usual en espacios topológicos generales. Nuestro teorema dice que las tres son equivalentes en el espacio topológico concreto que estamos estudiando.

Se verá en la asignatura de topología que 3 ⇒ 2 ⇒ A cerrado

En particular, en los espacios métricos particulares (espacio topológico cuya topología está inducida por una métrica) 3 ⇔ 2 ⇔ 1.

• Demostración:

Vamos a ver que 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1

(1 ⇒ 2) no es sencillo, pero ya lo sabemos, es particularmente el teorema de Bolzano.

En efecto, sea A cerrado y acotado (si A es finito, no hay nada que ver). Como es acotado, por el teorema de Bolzano, toda parte infinita de él tiene algún punto de acumulación (punto de acumulación de todo A, por tanto) y, como es cerrado, pertenece a él.

(2 ⇒ 3) Por el teorema de Lindelof: cualquiera que sea A, de todo recubrimiento abierto (no numerable) de A se puede extraer un subrecubrimiento numerable. Podemos suponer que el recubrimiento que tenemos de A es numerable, de la forma {Gₙ /n ⊂ N}. Se trata de ver que si A verifica (2) entonces se puede extraer de él un subrecubrimiento finito.

Si G₁ deja fuera finitos elementos de A, ya está (no quedamos con G₁ y un Gₙ (el que sea) para cada uno de los finitos de fuera).

En otro caso, tenemos x₁ ⊂ A / G₁. Si G₁ ∪ G₂ deja fuera finitos de A ya está.

En otro caso, tomamos x₂ ⊂ A / (G₁ ∪ G₂), x₂ ≠ x₁. Si G₁ ∪ G₂ ∪ G₃ deja fuera finitos de A, ya está.

En otro caso, tomamos x₃ ⊂ A / (G₁ ∪ G₂ ∪ G₃), x₃ ≠ x₁, x₃ ≠ x₂, etc …

Si el conjunto así construido {x₁, x₂, ……} es finito, ya está. Si es infinito entonces, por 2 tiene un punto de acumulación a ⊂ A. Por tanto, existe m ⊂ N / a ⊂ Gₘ. Por ser Gₘ abierto y a punto de acumulación de {xₙ /n ⊂ N} en Gₘ están infinitos elementos de {xₙ /n ⊂ N}en contradicción con la forma en que se han obtenido los xₙ; en Gₘ están, a lo sumo, x₁, x₂, …, xₘ ₋ ₁

Luego el conjunto {x₁, x₂, ……} es finito (tal vez vacío). Como queríamos demostrar.

(3 ⇒ 1) o lo que es lo mismo (contrarrecíproco) no 1 ⇒ no 3

(1) es cerrado y acotado

(no 1) es no cerrado ó no acotado

Así que, lo que tenemos que ver es que: no cerrado ⇒ no compacto.

No acotado ⇒ no compacto.

Supongamos que A no es cerrado. Esto significa que existe a punto de acumulación de A, tal que a ∉ A (a ⊂ A' \ A)

Pues bien, un recubrimiento abierto de A, del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito es por ejemplo:

{[a - 1/n, a + 1/n]ᶜ /n ⊂ N}

A ⊂ U {[a - 1/n, a + 1/n]ᶜ /n ⊂ N} = ℜ \ {a}

Si A no es acotado entonces un recubrimiento abierto de A del que no se puede extraer ningún subrecubrimiento finito es por ejemplo:

{]-n, n[/n ⊂ N}

A ⊂ U]-n, n[= ℜ

Corolario:

Si A es compacto y no vacío entonces inferior A, superior A ⊂ A.

• Demostración:

Por ser A acotado y no vacío existen, por el TFO, inferior A y superior A.

Si inferior A ó superior A es punto aislado de A, por supuesto que pertenece a A.

Si inferior A y superior A no fueran de A, si no son puntos aislados entonces es fácil ver que son puntos de acumulación de A y por ser cerrado, pertenecen a él

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Si α no es de A y aquí^* no hay puntos x α = superior A de A entonces x es cota superior de A más pequeña que α.

Autor: Daniel Fernández. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).