Función logarítmica (primera parte)

Ejemplos de cálculo de logaritmos

Ejemplo nº 1

Sabiendo que log₁₀ 2 = 0,301030 y log₁₀ 3 = 0,477121, calcular log₁₀ 6, log₁₀ 8, log₁₀ 3/2, log₁₀ ∛3,6

Solución

Para obtener los logaritmos pedidos a partir del logaritmo de 2 y de 3, hay que expresar los números 6; 8; 3/2 y 3,6 en función de 2 y 3.

log₁₀ 6 = log₁₀ (2·3)

log₁₀ 6 = log₁₀ 2 + log₁₀ 3

log₁₀ 6 = 0,301030 + 0,477121

log₁₀ 6 = 0,778151

log₁₀ 8 = log₁₀ 2³

log₁₀ 8 = 3·log₁₀ 2

log₁₀ 8 = 3·0,301030

log₁₀ 8 = 0,903090

log₁₀ 3/2 = log₁₀ 3 - log₁₀ 2

log₁₀ 3/2 = 0,477121 - 0,301030

log₁₀ 3/2 = 0,146091

log₁₀ ∛3,6 = ⅓·log₁₀ (36/10)

log₁₀ ∛3,6 = ⅓·log₁₀ (2²·3²/10)

log₁₀ ∛3,6 = (2·log₁₀ 2 + 2·log₁₀ 3 - log₁₀ 10)/3

log₁₀ ∛3,6 = (2·0,301030 + 2·0,477121 - 1)/3

log₁₀ ∛3,6 = 0,185434

Ejemplo nº 2

Calcular log₂ 64, log_½ 4, log₇ ⅐

Solución

log₂ 64 = log₂ 2⁶ = 6·log₂ 2 = 6·1 = 6

log_½ 4 = log_½ ½⁻² = -2

log₇ ⅐ = log₇ 1 - log₇ 7 = 0 - 1 = -1

Ejemplo nº 3

Desarrollar el logaritmo de la expresión:

Solución

El desarrollo del logaritmo es independiente de la base que se tome, por lo tanto, se prescindirá de ella.

log (x·y³) - log ∛2·z⁴ =

= log x + log y³ - ⅓·log 2·z⁴ =

= log x + 3·log y - (log 2 + 4·log z)/3 =

log B = log x + 3·log y - ⅓·log 2 - (4/3)·log z

Ejemplo nº 4

Desarrollar el logaritmo de la expresión:

C =

Solución

log C = log

log C = ½·log 2·√2·√2

log C = ½·(log 2 + log √2·√2)

= ½·(log 2 + ½·log 2·√2) = ½·log 2 + ¼·(log 2 + log ;√2) =

= ½·log 2 + ¼·log 2 + ¼·½·log 2 = (½ + ¼ + ⅛)·log 2 = (7/2)·log 2

log C = (7/2)·log 2

Ejemplo nº 5

Obtener la expresión de E a partir del desarrollo de su logaritmo:

log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z

Solución

En este caso se trata de hacer el proceso inverso que en los casos anteriores.

log E = 3·log x + 2·log y - ½·log z = log x³ + log y² - log √z =

Por lo tanto, sí:

Ejemplo nº 6

Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:

logₓ 8 = ½; logₓ ⅑ = -2; log₂₇ x = ⅓; log₁₀ 0,01 = x; log_½ x = -1

Solución

logₓ 8 = ½ ⇒ x^½ = 8 ⇒ √x = 8 ⇒ x = 8² ⇒ x = 64

logₓ ⅑ = -2 ⇒ x⁻² = ⅑ ⇒ 1/x² = ⅑ ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3

log₂₇ x = ⅓ ⇒ 27^⅓ = x ⇒ x = ∛x ⇒ x = 3

log₁₀ 0,01 = x ⇒ 10ˣ = 0,01 ⇒ 10ˣ = 1/100 ⇒ 10ˣ = ⅒² = 10⁻² ⇒ x = -2

log_½ x = -1 ⇒ ½⁻¹ = x ⇒ x = 2

Logaritmos decimales y logaritmos naturales

De todas las posibles bases que pueden tomarse para los logaritmos, las más usuales son la base 10 y la base e.

Los logaritmos que tienen base 10 se llaman logaritmos decimales, logaritmos vulgares o logaritmos de Briggs, y para representarlos se escribe sencillamente log sin necesidad de especificar la base:

log₁₀ X = log X

Las tablas que tradicionalmente se han usado para calcular logaritmos, son tablas de logaritmos decimales.

Se escriben a continuación algunos ejemplos de logaritmos decimales:

log 1 = 0; puesto que 10° = 1 ⟶ log 10.000 = 4; puesto que 10⁴ = 10.000.

log 10 = 1; puesto que 10¹ = 10 ⟶ log 0,1 = -1; puesto que 10⁻¹ = 0,1.

Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Para representarlos se escribe ln o bien L:

logₑ X = ln X = LX

Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:

ln 1 = 0; puesto que e° = 1

ln e² = 2; puesto que e² = e²

ln e⁻¹ = -1; puesto que e⁻¹ = e⁻¹

El número e tiene gran importancia en Matemática. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y es el límite de la sucesión

Su valor, con seis cifras decimales, es:

e = 2,718281…

Cambio de base

Para un mismo número X existen infinitos logaritmos, dependiendo de la base que se tome.

Por ejemplo, el logaritmo de 8 es 1, -1, 3, -3, 0,903090, 2,079441 … según que la base considerada sea 8, ⅛, 2, ½, 10, e …

Es posible pasar del logaritmo de un número en una base "a" determinada al logaritmo de ese mismo número en otra base "b", sin más que aplicar la siguiente fórmula:

log_b x = logₐ x/logₐ b

• Demostración:

Sea:

Tomando logaritmos en base a en la igualdad anterior, se tiene:

logₐ a^A = logₐ b^B ⇒ A·logₐ a = B·logₐ b

Despejando B, y teniendo en cuenta que logₐ a = 1, se tiene:

B = A/logₐ b

Es decir,

log_b x = logₐ x/logₐ b

Ejemplos de cambios de base de logaritmos

Ejemplo nº 1

Sabiendo que log₂ 8 = 3, calcular log₁₆ 8

Solución

Aplicando la fórmula, log₁₆ 8 = log₂ 8/log₂ 16 = ¾ = 0,75

Ejemplo nº 2

Sabiendo que log₃ 27 = 3, calcular log₉ 27

Solución

log₉ 27 = log₃ 27/log₃ 9 = 3/2 = 1,5

Ejemplo nº 3

Sabiendo que log 2 = 0,301030 y log 7 = 0,845098, calcular log₇ 2.

Solución

log₇ 2 = log 2/log 7 = 0,301030/0,845098 = 0,356207

Relación entre logaritmos decimales y neperianos

Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

ln X = log X/log e, donde log e = 0,434294

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

ln X = ln X/ln 10, donde ln 10 = 2,302585

Relación entre los logaritmos en base a y en base 1/a

log_1/a X = -logₐ X

Relación entre logₐ b y log_b a

log_b a = logₐ a/logₐ b = 1/logₐ b

Los logaritmos logₐ b y log_b a son inversos.

Ejemplos de cambio de base de logaritmos inversos

Ejemplo nº 1

Dado el log 25 = 1,397940, calcular ln 25.

Solución

ln 25 = log 25/log e = 1,397940/0,434294 = 3,218879

Ejemplo nº 2

Dado el ln 17 = 2,833213, calcular log 17.

Solución

log 17 = ln 17/ln 10 = 2,833213/2,302585 = 1,230448

Ejemplo nº 3

Calcular log_⅙ 216, sabiendo que log₆ 216 = 3.

Solución

log_⅙ 216 = -log₆ 216 = -3

Ejemplo nº 4

Calcular log₃ 10, sabiendo que log 3 = 0,477121.

Solución

log₃ 10 = 1/log 3 = 1/0,477121 = 2,095904

Ejemplo nº 5

Calcular log₅ e, sabiendo que ln 5 = 1,609437.

Solución

log₅ e = 1/ln 5 = 1/1,609437 = 0,621335

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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