Problema nº 5 de funciones exponenciales, operaciones - TP03
Enunciado del ejercicio nº 5
Resolver las siguientes ecuaciones:
a) (1 + x)√4 = 2ˣ
b) 2⁽ˣ ⁻ ¹⁾ = 2ˣ
c) 5⁽ˣ ⁺ ¹⁾ + 5ˣ = 750
| d) ( | 9 | )⁽ˣ ⁺ ¹⁾·( | 8 | )⁽ˣ ⁻ ¹⁾ = | 2 |
| 4 | 27 | 3 |
Solución
a)
(1 + x)√4 = 2ˣ
22/(1 + x) = 2ˣ
Las bases son iguales, operamos con los exponentes:
| 2 | = x |
| 1 + x |
2 = x·(1 + x)
2 = x² + x
x² + x - 2 = 0
Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Siendo:
a = 1
b = 1
c = -2
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -1 ± √1² - 4·1·(-2) |
| 2·1 |
| x1,2 = | -1 ± √1 + 8 |
| 2 |
| x1,2 = | -1 ± √9 |
| 2 |
| x1,2 = | -1 ± 3 |
| 2 |
Calculamos los valores por separado según el signo del resultado de la raíz:
| x₁ = | -1 + 3 |
| 2 |
| x₁ = | 2 |
| 2 |
x₁ = 1
| x₂ = | -1 - 3 |
| 2 |
| x₂ = | -4 |
| 2 |
x₂ = -2
Resultado:
x₁ = 1
x₂ = -2
b)
2⁽ˣ ⁻ ¹⁾ = 2ˣ
Las bases son iguales, operamos con los exponentes:
x - 1 ≠ x
No tiene solución.
c)
5⁽ˣ ⁺ ¹⁾ + 5ˣ = 750
Aplicamos las propiedades de la potenciación:
5ˣ·5¹ + 5ˣ = 6·5³
Extraemos factor común 5ˣ:
5ˣ·(5 + 1) = 6·5³
Cancelamos:
5ˣ·6 = 6·5³
5ˣ = 5³
Las bases son iguales, operamos con los exponentes:
x = 3
Resultado:
x = 3
d)
| ( | 9 | )⁽ˣ ⁺ ¹⁾·( | 8 | )⁽ˣ ⁻ ¹⁾ = | 2 |
| 4 | 27 | 3 |
Aplicamos las propiedades de la potenciación:
| ( | 3 | )2·(x + 1)·( | 2 | )3·(x - 1) = | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| ( | 2 | )⁻2·(x + 1)·( | 2 | )3·(x - 1) = | 2 |
| 3 | 3 | 3 |
| ( | 2 | )[-2·(x + 1) + 3·(x - 1)] = | 2 |
| 3 | 3 |
Las bases son iguales, operamos con los exponentes:
-2·(x + 1) + 3·(x - 1) = 1
Desarrollamos los productos:
-2·x - 2 + 3·x - 3 = 1
Despejamos "x":
x - 5 = 1
x = 1 + 5
Resultado:
x = 6
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, operaciones con ecuaciones exponenciales