Problema nº 7-e de funciones logarítmicas, operaciones con logaritmos - TP04

Enunciado del ejercicio nº 7-e

Resolver la siguiente ecuación:

log₂ x -	3	·log₈ (x + 1) = 2
	2

log₂ x -	3	·log₈ (x + 1) = 2
	2

Cambiamos la base del logaritmo:

log_b x =	logₐ x
	logₐ b

log₈ (x + 1) =	log₂ (x + 1)
	log₂ 8

Reemplazamos:

log₂ x -	3	·	log₂ (x + 1)	= 2
	2		log₂ 8

Pero:

log₂ 8 = 3

log₂ x -	3	·	log₂ (x + 1)	= 2
	2		3

log₂ x -	1	·	log₂ (x + 1)	= 2
	2		1

log₂ x -	1	·log₂ (x + 1) = 2
	2

log₂ x - log₂ (x + 1)^½ = 2

Aplicamos la propiedad inversa del logaritmo de un producto:

log₂	x	= 2
	(x + 1)^½

Por definición de logaritmo:

logₐ n = x ⇔ aˣ = n

log₂	x	= 2 ⇔ 2² =	x
	(x + 1)^½		(x + 1)^½

2² =	x
	(x + 1)^½

4 =	x
	(x + 1)^½

(x + 1)^½ =	x
	4

x + 1 =	x²
	4²

16·(x + 1) = x²

16·x + 16 = x²

Igualamos a cero:

x² - 16·x - 16 = 0

Aplicamos la ecuación de Báscara o Bhaskara:

x_1,2 =	-b ± √b² - 4·a·c
	2·a

Siendo:

a = 1

b = -16

c = -16

Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:

x_1,2 =	-(-16) ± √(-16)² - 4·1·(-16)
	2·1

x_1,2 =	16 ± √256 + 64
	2

x_1,2 =	16 ± √320
	2

x_1,2 =	16 ± √2⁶·5
	2

x_1,2 =	16 ± 8·√5
	2

x_1,2 = 8 ± 4·√5

x₁ = 8 + 4·√5

x₂ = 8 - 4·√5

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, operaciones con logaritmos