Problema n° 2-o y 2-p de funciones cuadráticas, fórmula general - TP05
Enunciado del ejercicio n° 2-o y 2-p
Resolver las siguientes ecuaciones usando la fórmula general:
o) y² + 2·y - 2 = 0
p) 4·x² - 4·x - 7 = 0
Desarrollo
Fórmulas:
Ecuación de Báscara o Bhaskara o fórmula general:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Solución
o) y² + 2·y - 2 = 0
Aplicamos la ecuación general:
| y1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Donde:
a = 1
b = 2
c = -2
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| y1,2 = | -2 ± √2² - 4·1·(-2) |
| 2·1 |
| y1,2 = | -2 ± √4 + 8 |
| 2 |
| y1,2 = | -2 ± √12 |
| 2 |
Factorizamos el radicando:
| y1,2 = | -2 ± √2²·3 |
| 2 |
Extraemos el 2 de la raíz:
| y1,2 = | -2 ± 2·√3 |
| 2 |
Extraemos factor común 2:
| y1,2 = | 2·(-2 ± √3) |
| 2 |
Simplificamos:
y1,2 = -2 ± √3
Calculamos por separado y₁ e y₂ según el signo:
y₁ = -2 + √3
y₂ = -2 - √3
Tenemos las raíces.
Resultado o), la ecuación es:
[y - (-2 + √3)]·[y - (-2 - √3)] = 0
(y + 2 - √3)·(y + 2 + √3) = 0
p) 4·x² - 4·x - 7 = 0
Aplicamos la ecuación general:
| x1,2 = | -b ± √b² - 4·a·c |
| 2·a |
Donde:
a = 4
b = -4
c = -7
Reemplazamos y resolvemos, obtendremos dos valores:
| x1,2 = | -(-4) ± √(-4)² - 4·4·(-7) |
| 2·4 |
| x1,2 = | 4 ± √16 + 112 |
| 8 |
| x1,2 = | 4 ± √128 |
| 8 |
Factorizamos el radicando:
| x1,2 = | 4 ± √2⁶·2 |
| 8 |
Extraemos el 2⁶ de la raíz:
| x1,2 = | 4 ± 2³·√2 |
| 8 |
| x1,2 = | 4 ± 8·√2 |
| 8 |
Extraemos factor común 4:
| x1,2 = | 4·(1 ± 2·√2) |
| 8 |
Simplificamos:
| x1,2 = | 1 ± 2·√2 |
| 2 |
x1,2 = ½ ± √2
Calculamos por separado x₁ y x₂ según el signo:
x₁ = ½ + √2
x₂ = ½ - √2
Tenemos las raíces.
Resultado p), la ecuación es:
[x - (½ + √2)]·[x - (½ - √2)] = 0
(x - ½ - √2)·(x - ½ + √2) = 0
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general