Problema nº 3 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 3
Calcular la longitud de la curva (cos 2·t, sen 2·t, 3·t); 0 ≤ t ≤ 3·π
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (cos 2·t, sen 2·t, 3·t)
C'(t) = (-2·sen 2·t, 2·cos 2·t, 3)
Su norma será:
||C'(t)|| = √(-2·sen 2·t)² + (2·cos 2·t)² + 3²
||C'(t)|| = √4·sen² 2·t + 4·cos² 2·t + 9
||C'(t)|| = √4·(sen² 2·t + cos² 2·t) + 9
||C'(t)|| = √4 + 9
||C'(t)|| = √13
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | 3·π | √13·dt |
| 0 |
Como √13 es constante:
| s = √13·∫ | 3·π | dt |
| 0 |
| s = √13·t | 3·π |
| 0 |
Resultado, la longitud de la curva es:
s = 3·π·√3
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales