Problema nº 4 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 4
Calcular la longitud de la curva (a·cos³ t, a·sen³ t); 0 ≤ t ≤ 2·π, a > 0
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (a·cos³ t, a·sen³ t)
C'(t) = [-3·a·cos² t, 3·a·(sen² t)·(cos t)]
Su norma será:
||C'(t)|| = √(-3·a·cos² t·sen t)² + (3·a·sen² t·cos t)²
||C'(t)|| = √9·a²·cos⁴ t·sen² t + 9·a²·sen⁴ t·cos² t
||C'(t)|| = √9·a²·cos² t·sen² t·(sen² t + cos² t)
||C'(t)|| = √9·a²·cos² t·sen² t
||C'(t)|| = 3·a·cos t·sen t
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | 2·π | 3·a·cos t·sen t·dt |
| 0 |
Como "a" es constante:
| s = 3·a·∫ | 2·π | cos t·sen t·dt |
| 0 |
Como la curva es simétrica con respecto a ambos ejes:
| s = 4·3·a·∫ | π/2 | sen t·d(sen t) |
| 0 |
| s = 12·a·(½·sen² t) | π/2 |
| 0 |
| s = 12·a·( | sen² π/2 | - | sen² 0 | ) |
| 2 | 2 |
| s = 12·a·( | 1 | - | 0 | ) |
| 2 | 2 |
Resultado, la longitud de la curva es:
s = 6·a
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales