Problema nº 6 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 6
Calcular la longitud de la curva y = cosh x; 0 ≤ x ≤ 1
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
f(x) = cosh x
f'(x) = senh x
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
| s = ∫ | 1 | √1 + (senh x)²·dx |
| 0 |
Como:
cosh² x - sinh² x = 1
cosh² x = 1 + sinh² x
Luego:
| s = ∫ | 1 | √cosh² x·dx |
| 0 |
| s = ∫ | 1 | cosh x·dx |
| 0 |
| s = senh x | 1 |
| 0 |
| s = ½·(eˣ - e⁻ˣ) | 1 |
| 0 |
s = ½·(e¹ - e⁻¹) - ½·(e⁰ - e⁻⁰)
s = ½·(e - e⁻¹) - ½·(1 - 1)
Resultado, la longitud de la curva es:
s = ½·(e - 1/e)
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales