Problema nº 10 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 10
Calcular la longitud de la curva y = x²; 0 ≤ x ≤ 1
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
f(x) = x²
f'(x) = 2·x
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
| s = ∫ | 1 | √1 + (2·x)²·dx |
| 0 |
Mediante un cambio de variable:
2·x = sinh t
2·dx = cosh t·dt
s = ∫ √1 + senh² t·½·cosh t·dt
Como:
cosh² x - sinh² x = 1
cosh² x = 1 + sinh² x
s = ½·∫ √cosh² t·cosh t·dt
s = ½·∫ cosh t·cosh t·dt
s = ½·∫ cosh² t·dt
Integrando:
s = [t/2 + (senh t·cosh t)/2] = (t + senh t·cosh t)/4
Reemplazando nuevamente:
| s = ¼·[log (2·x + √1 + (2·x)²) + 2·x·√1 + (2·x)²] | 1 |
| 0 |
| s = ¼·[log (2·x + √1 + 4·x²) + 2·x·√1 + 4·x²] | 1 |
| 0 |
s = ¼·[log (2·1 + √1 + 4·1²) + 2·1·√1 + 4·1²] - ¼·[log (2·0 + √1 + 4·0²) + 2·0·√1 + 4·0²]
s = ¼·[log (2 + √1 + 4) + 2·√1 + 4] - ¼·[log √1]
s = ¼·[log (2 + √5) + 2·√5] - ¼·log 1
s = ¼·[log (2 + √5) + 2·√5]
s = ¼·log (2 + √5) + ½·√5
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales