Problema nº 13 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 13
Calcular la longitud de la curva (t, t³/6, t²/2); 0 ≤ t ≤ 2
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
X = (t, t³/6, t²/2)
X' = (1, 3·t²/6, 2·t/2)
X' = (1, t²/2, t)
Su norma será:
||C'(t)|| = √1² + (½·t²)² + t²
||C'(t)|| = √1 + ¼·t⁴ + t²
||C'(t)|| = √¼·(4 + t⁴ + 4·t²)
||C'(t)|| = ½·√4 + t⁴ + 4·t²
||C'(t)|| = ½·√(t² + 2)²
||C'(t)|| = ½·(t² + 2)
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | 2 | ½·(t² + 2)·dt |
| 0 |
| s = ½·∫ | 2 | (t² + 2)·dt |
| 0 |
| s = ½·(⅓·t³ + 2·t) | 2 |
| 0 |
s = ½·(2³/3 + 2·2) - ½·(0³/3 + 2·0)
s = ½·(8/3 + 4)
s = ½·(20/3)
Resultado, la longitud de la curva es:
s = 10/3
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales