Problema nº 14 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 14
Calcular la longitud de la curva (cos t, sen t, log t); 1 ≤ t ≤ 2
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (cos t, sen t, log t)
C'(t) = (-sen t, cos t, 1/t)
Su norma será:
||C'(t)|| = √(-sen t)² + (cos t)² + (1/t)²
||C'(t)|| = √sen² t + cos² t + 1/t²
||C'(t)|| = √1 + 1/t²
||C'(t)|| = (1/t)·√t² + 1
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | 2 | (1/t)·√t² + 1·dt |
| 1 |
Como:
cosh² x - sinh² x = 1
cosh² x = 1 + sinh² x
Podemos cambiar de variable:
t = cosh x
dt = snh x·dx
| s = ∫ | 1 | ·√cosh² x + 1·sinh x·dx |
| cosh x |
| s = ∫ | sinh x | ·√sinh² x·dx |
| cosh x |
| s = ∫ | sinh x | ·sinh x·dx |
| cosh x |
| s = ∫ | sinh² x | ·dx |
| cosh x |
Falta terminar
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales