Problema nº 15 de funciones de varias variables, longitud de una curva aplicando integrales - TP01
Enunciado del ejercicio nº 15
Calcular la longitud de la curva (2·t, t², log t) entre (2, 1, 0) y (4, 4, log 2)
Desarrollo
Fórmulas:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | b | √1 + [f'(x)]²·dx |
| a |
Solución
La curva esta dada en forma paramétrica:
C(t) = (2·t, t², log t)
C'(t) = (2, 2·t, 1/t)
Su norma será:
||C'(t)|| = √2² + (2·t)² + (1/t)²
||C'(t)|| = √4 + 4·t² + 1/t²
||C'(t)|| = √(4·t² + 4·t⁴ + 1)/t²
||C'(t)|| = √(2·t² + 1)²/t²
||C'(t)|| = (2·t² + 1)/t
||C'(t)|| = 2·t + 1/t
Los límites de integración son:
| 2·t = 2 t = 1 t² = 1 t = ±1 log t = 0 t = 1 | ⟶ t = 1 |
| 2·t = 4 t = 2 t² = 4 t = ±2 log t = log 2 t = 2 | ⟶ t = 2 |
Planteamos la integral correspondiente entre los límites indicados:
| s = ∫ | t₂ | ||X'(t)||·dt |
| t₁ |
| s = ∫ | 2 | (2·t + 1/t)·dt |
| 1 |
| s = 2·∫ | 2 | t·dt + ∫ | 2 | (1/t)·dt |
| 1 | 1 |
| s = 2·½·t² | 2 | + log t | 2 |
| 1 | 1 |
s = 2·(2²/2 - 1²/2) + log 2 - log 1
s = 2·(4/2 - ½) + log 2 - 0
s = 2·3/2 + log 2
Resultado, la longitud de la curva es:
s = 3 + log 2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
- ‹ Anterior |
- Regresar a la guía TP01
- | Siguiente ›
Ejemplo, cómo hallar la longitud de una curva aplicando integrales