Problema nº 12 de funciones de varias variables, derivadas direccionales
Enunciado del ejercicio nº 12
Calcular las derivadas direccionales de la siguiente función, en los puntos indicados y según las direcciones indicadas:
f(x, y) = log y/log x
Desarrollo
Datos:
Dᵤf(X) = ∇f(X)·u
| Dᵤf(x, y) = | ∂f | )·cos x·u + | ∂f | )·cos y·u |
| ∂x | ∂y |
Para:
u = (u₁, u₂)
u₁ = cos x·u
u₂ = cos y·u
o
| Dᵥf(X) = ∇f(X)· | V |
| ||V|| |
Para:
| u = | V |
| ||V|| |
Máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X₀ es:
||∇f(X₀)||
Dirección de máxima velocidad de crecimiento de una función f(X) en un punto dado X₀ es:
∇f(X₀) ⇔ (si: ∇f(X₀) ≠ 0)
Solución
El gradiente es:
∇f(x, y) = [(-log y)/(x·log² x), 1/(y·log x)]
Los datos del gráfico son:
X₀ = (e, 1)
u = (u₁, u₂)
u₁ = cos x·u = cos 225° = -√2/2
u₂ = sen y·u = sen 225° = -√2/2
u = (-√2/2, -√2/2)
El gradiente calculado en el punto es:
∇f(e, 1) = [(-log 1)/(e·log² e), 1/(1·log e)] = (-0/e·1, 1/1·1) = (0, 1)
Resultado, la derivada direccional es:
Dᵤ(e, 1) = (0, 1)·(-√2/2, -√2/2) = -√2/2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar las derivadas direccionales