Problema n° 23 de funciones de varias variables, derivadas parciales
Enunciado del ejercicio n° 23
La derivada direccional de una cierta f(x, y) según la dirección del vector X'(t), tangente a la curva:
(et - 1, 1 - t + t²)
En el punto P = (1, 1), vale √2. La derivada direccional de la misma función según la dirección que se obtiene girando π/2 el vector X'(t) en sentido antihorario, en el mismo punto P, vale 3·√2. Calcular las derivadas parciales de la f(x, y) en P.
La curva y su vector tangente son:
X(t) = (et - 1, 1 - t + t²)
X'(t) = (et - 1, -1 + 2·t)
Desarrollo
Fórmulas:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Solución
Debe verificar:
x = et - 1 = 1
t - 1 = 0
t = 1
y = 1 - t + t² = 1
-t + t² = 0
t = 1
Debe cumplir:
Dx'(t)f(1, 1) = √2
| ∇f(1, 1)· | X'(1) | = √2 |
| ||X'(1)|| |
X'(1) = (e¹ ⁻ ¹, -1 + 2·1)
X'(1) = (e⁰, -1 + 2)
X'(1) = (1, 1)
||X'(1)|| = √1² + 1²
||X'(1)|| = √2
El vector girado es:
Y'(1) = (-1, 1)
||Y'(1)|| = √(-1)² + 1²
||Y'(1)|| = √2
Analizando ambos casos vemos que:
| ∇f(1, 1)· | X'(1) | = √2 |
| ||X'(1)|| |
| ∇f(1, 1)· | (1, 1) | = √2 |
| √2 |
∇f(1, 1)·(1, 1) = 2
| ∂f | (1, 1) + | ∂f | (1, 1) = 2 ⟶ (1) |
| ∂x | ∂y |
| ∇f(1, 1)· | Y'(1) | = 3·√2 |
| ||Y'(1)|| |
| ∇f(1, 1)· | (-1, 1) | = 3·√2 |
| √2 |
∇f(1, 1)·(-1, 1) = 3·2
| - | ∂f | (1, 1) + | ∂f | (1, 1) = 6 ⟶ (2) |
| ∂x | ∂y |
Sumando (1) y (2) miembro a miembro:
| ∂f | (1, 1) + | ∂f | (1, 1) - | ∂f | (1, 1) + | ∂f | (1, 1) = 2 + 6 |
| ∂x | ∂y | ∂x | ∂y |
2·∂f(1, 1)/∂y = 8
∂f(1, 1)/∂y = 4
Reemplazando en (1):
∂f(1, 1)/∂x + 4 = 2
∂f(1, 1)/∂x = -2
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo hallar las derivadas parciales