Guía nº 4 de ejercicios de diferenciación
Resolver los siguientes ejercicios
� Ver resolución de los ejercicios al pie de la página
Fórmulas aplicables:
Plano: Z·X'(t) = X(t)·X'(t)
Recta: Z = X(t) + μ·X'(t)
Problema nº 10
Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva:
X(t) = [(t + 1)², -t², 3 - t]
En los puntos de intersección de X(t) con el plano x + y - z = 1.
• Respuesta: 4·x - 2·y - z = 16
Problema nº 11
Mostrar que las curvas
a)
(t, 2·t², -1/t)
(1 - θ, 2·cos θ, (sen θ) - 1)
Se cortan en el punto P = (1, 2, -1)
b)
Calcular el ángulo (≤ π/2) formado por las tangentes a dichas curvas en P.
• Respuesta:
a) t = 1 y θ = 0; φ = π/2
Problema nº 12
Una partícula se mueve sobre la curva:
X(t) = (cosh t, senh t, t), t ≥ 0
Calcular la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante t.
Problema nº 13
Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (cos 3·t, sen 3·t, t²) en el punto:
(0, 1, π²/4)
Si el problema esta bien puesto.
• Respuesta: 3·x + π·z = π³/4
Problema nº 14
Escribir la ecuación cartesiana del plano normal a la curva (t², t³, t² + 1) en las eventuales intersecciones de la misma con el plano z = x + y.
Problema nº 15
Calcular el área de la región del plano encerrada entre la curva (x, y) = (cos⁴ t, sen⁴ t), 0 ≤ t ≤ π, x = 0.
Problema nº 16
Calcular el área de una elipse de semiejes a y b.
Problema nº 17
Escribir la ecuación cartesiana del plano tangente y la ecuación vectorial de la recta normal a las siguientes superficies en los puntos indicados:
a) z = e³˙ˣ·sen 5·y - z, en el punto (0, π/6, ½)
b) y = eˣ·cos z, en el punto (1, e, 0)
c) x² + eʸ = z, en el punto (1, 0, 2)
• Respuesta:
a) (x, y, z) = (0, π/6, ½) + μ·(3/2, 5·√3/2, -1); 3·x - 5·√3·y - 2·z = -5·√3·π/6 - 1;
b) (x, y, z) = (1, e, 0) + μ·(e, -1, 0); e·x - y = 0;
c) (x, y, z) = (1, 0, 2) + μ·(2, 1, -1); 2·x + y - z = 0
Problema nº 18
Escribir la ecuación de la recta tangente a la curva:
(et, e2·t, 1 + et), en el punto (1, 1, 2).
• Fuente:
"Lecciones de análisis II" del Dr. Alfredo F. Novelli para Análisis Matemático II de UNLu.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina