Integración por sustitución
F(x) = ∫ f(x)·g(x)·dx ⇒ F(x) = ∫ u·du ⇔ u = g(x) ⇔ du = f(x)·dx
Integración por partes
La integral de un producto de un factor finito por un factor diferencial es igual al factor finito por una integral del factor diferencial, menos la integral de la integral hallada por la diferencial del factor finito.
F(x) = ∫ u·dv
F(x) = u·v - ∫ v·du
F(x) = ∫ f(x)·g⁵(x)·dx
F(x) = f(x)·g(x) - ∫ g(x)·f'(x)·dx
u = f(x)
du = f'(x)·dx
dv = g⁵(x)·dx
v = g(x)
Método abreviado
| f(x) f¹(x) f²(x) f³(x) f⁴(x) = 0 | g⁵(x) g⁴(x) g³(x) g²(x) g¹(x) |
F(x) = f(x)·g⁴(x) - f¹(x)·g³(x) + f²(x)·g²(x) - f³(x)·g¹(x)
Integración del cociente de dos polinomios
F(x) = ∫ f(x)/g(x)·dx
1) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es igual o mayor que el de g(x), se dividen:
f(x) = g(x)·c(x) + R
F(x) = ∫ c(x)·dx + ∫ R/g(x)·dx
2) si f(x) y g(x) son polinomios y el grado de f(x) es menor que el de g(x), se factorean:
a)
f(x) = (x + a)
g(x) = (x + b)·(x + c)
F(x) = ∫ (x + a)/(x + b)·(x + c)·dx ⇒ F(x) = [(a - b)/(c - b)]·ln (x + b) + [(a - c)/(b - c)]·ln (x + c)
b)
f(x) = (x + a)
g(x) = (x + b)²
F(x) = ∫ (x + a)/(x + b)²·dx
u = x + b ⇒ x = u - b
du = dx
x + a = u - b + a
F(x) = ∫ du/u + (a - b)·∫ du/u² = ln u - (a - b)/u
Integración por sustitución trigonométrica
a)
x = b·sen t ⇒ t = arcsen (x/b)
dx = b·cos t·dt
| F(x) = ∫ | a·dx | = a·∫ | b·cos t·dt | = a·b·∫ | cos t·dt | = | a·b | ∫ | cos t·dt | = |
| √b² - x² | √b² - (b·sen t)² | √b² - b²·sen t² | b | √1 - sen t² |
| = a·∫ | cos t·dt | = a·∫ | cos t·dt | = a·∫ dt = a·t = a·arcsen (x/b) |
| √cos t² | cos t |
b)
x = √b·t ⇒ t = x/√b
dx = √b·dt
| F(x) = ∫ | a·dx | = a·∫ | √b·dt | = a·√b·∫ | dt | = |
| b + x² | b + (√b·t)² | b + b·t² |
| = | a·√b | ∫ | dt | = | a·√b.arctg t | = | a·√b.arctg (x/√b) |
| b | 1 + t² | b | b |
Integrales trigonométricas
F(x) = ∫ senⁿ x·cosᵐ x·dx
Siendo m ó n impar, por ej.:
F(x) = ∫ sen² x·cos³ x·dx
F(x) = ∫ sen² x·cos² x·cos x·dx
F(x) = ∫ (1 - sen² x)·(sen² x)·(cos x)·dx
F(x) = ∫ (sen² x - sen⁴ x)·cos x·dx F(x)
F(x) = ∫ sen² x·cos x·dx - ∫ sen⁴ x·cos x·dx
u = sen x
du = cos x·dx
F(x) = ∫ u²·du - ∫ u⁴·du
F(x) = u³/3 - u⁵/5
F(x) = (sen³ x)/3 - (sen⁵ x)/5
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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