Integrales de funciones racionales

Se trata de resolver integrales de la forma ∫ P(x)/Q(x)·dx en las que p(x) y q(x) son polinomios.

Integrales racionales inmediatas

Son aquellas que se convierten en suma de integrales inmediatas sin más que dividir p(x) entre q(x). Para ello es preciso que el grado de p(x) sea mayor o igual que el grado de q(x).

Se sabe que en una división D = d·c + r. Dividiendo ambos miembros entre el divisor, d,

D/d = d·c/d + r/d = c + r/d

En general, para polinomios, si p(x) es el dividendo, q(x) el divisor, c(x) el cociente y r(x) el resto,

p(x)/q(x) = c(x) + r(x)/q(x)

Por consiguiente,

∫ P(x)/Q(x)·dx = ∫ [c(x) + r(x)/q(x)]·dx = ∫ c(x)·dx + ∫ r(x)/Q(x)·dx

Ejemplos de cálculo de integrales de funciones racionales

Ejemplo nº 1

Calcular ∫ [x²/(x² + 1)]·dx

Solución

Se divide x² entre x² + 1. El cociente es 1 y el resto - 1.

∫ [x²/(x² + 1)]·dx = ∫ [1 - 1/(x² + 1)]·dx = ∫ dx - ∫ dx/(x² + 1) = x - arctg x + C

Ejemplo nº 2

Hallar ∫ [(x² - 5·x + 4)/(x + 1)]·dx

Solución

Se dividen los polinomios.

x² - 5·x + 4 = (x + 1)·(x - 6) + 10

El cociente es x - 6 y el resto 10.

∫ [(x² - 5·x + 4)/(x + 1)]·dx = ∫ [(x - 6) + 10/(x + 1)]·dx = ∫ x·dx - 6·∫ dx + 10·∫ dx/(x + 1) = x²/2 - 6·x + 10·(ln |x + 1|) + C

Hay, no obstante, integrales racionales que no se convierten tan fácilmente en inmediatas. Para resolverlas es preciso hacer uso de la descomposición en fracciones simples.

Integrales de cocientes

Una fracción simple es cualquier fracción propia de polinomios (el grado del numerador es estrictamente menor que el grado del denominador), cuyo denominador sea de la forma (a·x + b)ⁿ ó (a·x² + b·x + c)ⁿ si el polinomio a·x² + b·x + c no tiene raíces reales, y n es un número natural. Así,

Son fracciones simples. Al hacer el estudio de integrales de la forma ∫ P(x)/Q(x)·dx, se supondrá que el grado del numerador, p(x), es estrictamente menor que el grado del denominador, pues si el grado del numerador fuese mayor o igual al grado del denominador, se dividiría p(x) entre q(x), obteniéndose un cociente c(x) y un resto r(x), en cuyo caso la integral ∫ P(x)/Q(x)·dx se convierte en ∫ [c(x) + r(x)/q(x)]·dx.

La integral ∫ c(x)·dx es inmediata por tratarse de un polinomio y la integral ∫ r(x)/Q(x)·dx es del caso supuesto, ya que el grado del resto, r(x), en una división de polinomios, es estrictamente menor que el grado del divisor q(x).

Método de integración por descomposición en fracciones simples

Para resolver este tipo de integrales

∫ r(x)/Q(x)·dx

Se procede del siguiente modo:

1) Se descompone factorialmente el polinomio q(x), es decir, se hallan las raíces de la ecuación q(x) = 0.

2) Se descompone la fracción p(x)/q(x) en suma de fracciones simples como se verá en los ejemplos.

3) Se integran los sumandos que resulten.

Ahora bien, al resolver la ecuación q(x) = 0 es posible encontrar resultados distintos y éstos se pueden clasificar en tres casos:

• Obtención de raíces simples (ninguna raíz está repetida)
• Obtención de raíces múltiples (al menos hay una raíz repetida)
• Obtención de raíces imaginarias (números complejos)

Hay que estudiar, pues, cada uno de los casos.

a) Se obtienen raíces reales simples.

Si x₁, x₂, …, xₙ son las raíces simples de q(x), se tiene:

A₁, A₂, …, Aₙ son constantes que se tienen que determinar. Como se aprecia, las integrales que resultan son inmediatas.

Ejemplo de cálculo de integrales por descomposición en fracciones simples

Ejemplo nº 1

Calcular la integral:

∫ [(x³ - 3·x² + 1)/(x² - 1)]·dx

Solución

Al ser el grado del numerador, 3, mayor que el del denominador, 2, se dividen los polinomios y se obtiene:

x³ - 3·x² + 1 = (x² - 1)·(x - 3) + (x - 2)

∫ [(x³ - 3·x² + 1)/(x² - 1)]·dx =

= ∫ [x - 3 + (x - 2)/(x² - 1)]·dx =

= ∫ x·dx - 3·∫ dx + ∫ [(x - 2)/(x² - 1)]·dx =

= x²/2 - 3·x + ∫ [(x - 2)/(x² - 1)]·dx =

Las raíces de x² - 1 son:

x² - 1 = 0 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1

Tiene, por tanto, dos raíces simples distintas, 1 y - 1.

Se descompone (x - 2)/(x² - 1) en fracciones simples:

Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores también han de serlo:

x - 2 = A·(x + 1) + B(x - 1).

Para determinar A y B, se dan valores a x:

Si:

x = 1

1 - 2 = A·(1 + 1) + B·(1 - 1)

-1 = 2·A

A = -½

Si:

x = -1

-1 - 2 = A·(- 1 + 1) + B·(- 1 - 1)

-3 = -2·B

B = 3/2

Debe hacerse notar que, aunque a x se le pueden dar valores arbitrarios, en este caso se han elegido aquellos que anulan uno de los sumandos para simplificar los cálculos. Este será un procedimiento muy generalizado. Así pues:

por lo que:

∫ [(x - 2)/(x² - 1)]·dx = ∫[-½/(x - 1)]·dx + ∫[(3/2)/(x + 1)]·dx = -½·ln |x - 1| + (3/2)·ln |x + 1|

Finalmente,

∫ [(x³ - 3·x² + 1)/(x² - 1)]·dx = x²/2 - 3·x - ½·ln |x - 1| + (3/2)·ln |x + 1| + C

b) Se obtienen raíces reales múltiples.

Si a es una raíz múltiple de multiplicidad n (está repetida n veces), la descomposición en fracciones simples de p(x)/(x - a)ⁿ es

A₁, A₂, A₃, …, Aₙ vuelven a ser constantes a determinar. De nuevo, las integrales de la forma.

∫ Aᵢ/(x - a)ᵢ·dx son inmediatas.

Ejemplo de cálculo de integrales por descomposición en fracciones simples

Ejemplo nº 1

Calcular:

∫ [(x² + 3·x - 5)/(x³ - 3·x + 2)]·dx

Solución

Como el grado del numerador, 2, es menor que el del denominador, 3, no se dividen los polinomios.

Las raíces del polinomio x³ - 3·x + 2 se obtienen aplicando la regla de Ruffini:

x³ - 3·x + 2 = (x - 1)²·(x + 2)

El polinomio tiene una raíz simple, - 2, y una raíz múltiple, 1, de multiplicidad dos.

La descomposición en fracciones simples de la fracción es:

Como en el caso anterior, se igualan los numeradores y se dan valores arbitrarios a x para determinar A, B y C.

x² + 3·x - 5 = A·(x - 1)·(x + 2) + B·(x + 2 ) + C·(x - 1)²

Si:

x = 1 ⟶ -1 = 3·B ⇒ B = -⅓.

Si:

x = -2 ⟶ -7 = 9·C ⇒ C = -7/9.

Si:

x = 0 ⟶ -5 = -2·A + 2·B + C = -2·A - ⅔ - 7/9 ⇒ A = 16/9.

Por tanto,

∫ [(x² + 3·x - 5)/(x³ - 3·x + 2)]·dx = ∫[(16/9)/(x - 1)]·dx + ∫[(-⅓)/(x - 1)²]·dx + ∫[(-7/9)/(x + 2)]·dx =

= (16/9)·∫ dx/(x - 1) - ⅓·∫ dx/(x - 1)² - (7/9)·∫ dx/(x + 2) =

= (16/9)·ln |x - 1| - ⅓·[(x - 1)⁻¹/(-1)] - (7/9)·ln |x + 2| + C =

= (16/9)·ln |x - 1| - (7/9)·ln |x + 2| + ⅓/(x - 1) + C

c) Se obtienen raíces imaginarias

Si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz imaginaria x = α + i·β, su conjugada también es raíz del polinomio, x = α - i·β. Si se multiplica x - (α + i·β) por x - (α - i·β), se obtiene:

(x - α - i·β)·(x - α + i·β) = (x - α)² + β²

El número imaginario i verifica i² = -1.

Cada par de raíces imaginarias conjugadas determina una fracción simple de la forma:

Por lo que se hace necesario aprender la técnica de resolución de integrales de la forma:

1- Se suma y se resta al numerador A·α y se descompone en las dos integrales siguientes:

Estas dos integrales son inmediatas aplicándoles un cambio de variable:

2- Al ser [(x - α)² + β]' = 2·(x - α),

= (A/2)·ln [(x - α)² + β²] + C₁

3-

Puesto que la derivada de (x - α)/β es 1/β,

4- Concluyendo:

Obsérvese que C₁ + C₂ = C

Para este tercer caso sólo se estudiarán las integrales en las que las raíces imaginarias del denominador sean simples.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

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