Integrales de cocientes: Fórmulas de reducción
Fórmulas de reducción
Hay integrales que no se pueden resolver por ninguno de los métodos descritos; sin embargo es posible encontrar unas fórmulas, llamadas de reducción, que permitirán resolver algunas integrales que dependen de un número natural n, siempre que se sepa resolver la integral para n - 1 ó n - 2.
Cálculo de Iₙ = ∫ senⁿ x·dx
Como se ve, el subíndice n de Iₙ coincide con el exponente de senⁿ x.
Desde luego,
I₀ = ∫ sen⁰ x·dx = ∫ 1·dx = x
e
I₁ = ∫ sen¹ x·dx = ∫ sen x·dx = -cos x
Para encontrar la fórmula de reducción de Iₙ se integrará por partes:
u = sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x
du = (n - 1)·sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ x·cos x·dx
dv = sen x·dx
v = ∫ sen x·dx = -cos x
Por tanto,
Iₙ = -cos x·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x - (n - 1)·∫ -sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ x·cos² x·dx
Iₙ = -cos x·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x + (n - 1)·∫ sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ x·(1 - sen² x)·dx
Iₙ = -cos x·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x + (n - 1)·∫ sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ x·dx - (n - 1)·∫ senⁿ x·dx
Iₙ = -cos x·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x + (n - 1)·Iₙ - 2 - (n - 1)·Iₙ
Pasando - (n - 1)·Iₙ al primer miembro y despejando Iₙ,
Iₙ (1 + n - 1) = -(cos x)·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x + (n - 1)·I₍ₙ ₋ ²₎
n·Iₙ = -cos x·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x + (n - 1)·I₍ₙ ₋ ²₎
De donde Iₙ = [(-cos x)·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x]/n + [(n - 1)/n]·I₍ₙ ₋ ²₎
Así: I₀ = x, I₁ = -cos x
| I₂ = ∫ sen² x·dx = | cos x·sen x | + | 2 - 1 | ·x |
| 2 | 2 |
| I₂ = | cos x·sen x | + ½·x |
| 2 |
| I₃ = ∫ sen³ x·dx = | -cos x·sen² x | + | 2 | ·(-cos x) |
| 3 | 3 |
Cálculo de Iₙ = ∫ cosⁿ x·dx
Para calcular Jₙ = ∫ cosⁿ x·dx, basta darse cuenta que cos x = sen (90° - x),
Por lo que Jₙ = ∫ [sen (90° - x)]ⁿ·dx y haciendo el cambio de variable 90° - x = y, dx = -dy.
Así:
| Jₙ = -∫ senⁿ y·dy |
| Jₙ = | cos y·sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ y | - | n - 1 | ∫ sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ y·dy |
| 3 | n |
Volviendo a hacer el cambio y = 90° - x se tiene:
cos y = cos (90° - x) = sen x;
sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ y = sen⁽ⁿ ⁻ ¹⁾(90° - x) = cos⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x
y - [(n - 1)/n]·∫ sen⁽ⁿ ⁻ ²⁾ (90° - x)·(-dx) =
| = | n - 1 | ·∫ cos⁽ⁿ ⁻ ²⁾ x·dx = | n - 1 | ·J₍ₙ ₋ ₂₎ |
| n | n |
Concluyendo que:
Jₙ = (sen x·cos⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ x)/n + [(n - 1)/n]·J₍ₙ ₋ ₂₎
Cálculo de la integral Iₙ = dx/(1 + x²)ⁿ
Sumando y restando x² al numerador,
| Iₙ = ∫ | 1 | ·dx = ∫ | 1 + x² - x² | ·dx |
| (1 + x²)ⁿ | (1 + x²)ⁿ |
| Iₙ = ∫ | 1 | ·dx = ∫ | 1 + x² | ·dx - | x² | ·dx |
| (1 + x²)ⁿ | (1 + x²)ⁿ | (1 + x²)ⁿ |
| Iₙ = ∫ | dx | - ∫ | x² | ·dx |
| (1 + x²)⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ | (1 + x²)ⁿ |
| Iₙ = I₍ₙ ₋ ₁₎ - ∫ | x² | ·dx (1) |
| (1 + x²)ⁿ |
La segunda integral se resuelve por partes:
u = x, du = dx
| dv = | x | ·dx |
| (1 + x²)ⁿ |
| v = ∫ | x | ·dx |
| (1 + x²)ⁿ |
| v = ½·∫ 2·x·(1 + x²)⁻ⁿ·dx = ½· | (1 + x²)⁻ⁿ ⁺ ¹ |
| -n + 1 |
De donde,
| ∫ | x² | ·dx = |
| (1 + x²)ⁿ |
| = ½·x· | (1 + x²)⁻ⁿ ⁺ ¹ | - | 1 | ·∫ (1 + x²)⁻ⁿ ⁺ ¹·dx |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) |
| = ½·x· | (1 + x²)⁻ⁿ ⁺ ¹ | - | 1 | ·∫ | dx | = |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) | (1 + x²)⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ |
| = ½·x· | (1 + x²)⁻ⁿ ⁺ ¹ | - | 1 | ·I₍ₙ ₋ ₁₎ |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) |
Volviendo a la expresión (1), se obtiene:
| Iₙ = I₍ₙ ₋ ₁₎ - ½·x· | (1 + x²)⁻ⁿ ⁺ ¹ | + | 1 | ·I₍ₙ ₋ ₁₎ |
| -n + 1 | 2·(-n + 1) |
Operando,
| Iₙ = | 2·n - 3 | ·I₍ₙ ₋ ₁₎ + | x | · | 1 |
| 2·n - 2 | 2·(n - 1) | (1 + x²)⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ |
Así, se obtendría, por ejemplo:
| I₁ = ∫ | dx | = arc tg x |
| 1 + x² |
| I₂ = ½·arc tg x + | x | · | 1 |
| 2 | 1 + x² |
| I₃ = ¾·(½·arc tg x + | x | · | 1 | ) + | x | · | 1 |
| 2 | 1 + x² | 2 | (1 + x²)² |
Se debe tener presente que aunque existen métodos para calcular gran cantidad de integrales, éstos no siempre son sencillos; incluso hay integrales irresolubles.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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