Integrales de cocientes
Ejemplo de cálculo de integrales de cocientes
Ejemplo nº 1
Calcular ∫ (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx
Solución
Al resolver la ecuación de segundo grado x² + 2·x + 5 = 0, se obtienen las raíces
-1 + 2·i y - 1 - 2·i, por lo que
x² + 2·x + 5 = (x + 1 - 2·i)·(x + 1 + 2·i) = (x + 1)² + 4·1.
Aplicando la fórmula anterior, A = 3, B = -1, α = -1 y β = 2.
| ∫ | 3·x - 1 | ·dx = | 3 | ·ln [(x + 1)² + 4] - | 4 | ·arctg | x + 1 | + C = |
| (x + 1)² + 4 | 2 | 2 | 2 |
| = | 3 | ·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg | x + 1 | + C |
| 2 | 2 |
A pesar de haber aplicado la fórmula, ésta no debe aprenderse de memoria ya que se olvida con suma facilidad. Es conveniente aplicar el proceso teórico paso a paso:
a)
| ∫ | 3·x - 1 | ·dx = |
| (x + 1)² + 4 |
| = ∫ | 3·x - 1 + 3·(-1) - 3·(-1) | ·dx = |
| (x + 1)² + 4 |
| = ∫ | 3·(x + 1) - 4 | ·dx = |
| (x + 1)² + 4 |
| = ∫ | 3·(x + 1) | ·dx + ∫ | -4 | ·dx |
| (x + 1)² + 4 | (x + 1)² + 4 |
Se resuelven por separado las dos integrales.
b)
| ∫ | 3·(x + 1) | ·dx = 3·∫ | x + 1 | ·dx |
| (x + 1)² + 4 | (x + 1)² + 4 |
Sí u = (x + 1)² + 4, u' = 2·(x + 1)
Por tanto,
| ∫ | 3·(x + 1) | ·dx = (3/2)·∫ | 2·(x + 1) | ·dx |
| (x + 1)² + 4 | (x + 1)² + 4 |
| ∫ | 3·(x + 1) | ·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] + C₁ |
| (x + 1)² + 4 |
c)
(x + 1)² + 4 = 4·[¼·(x + 1)² + 1] = 4·{[(x + 1)/2]² + 1}
Así:
| ∫ | -4 | ·dx = -4·∫ | 1 | ·dx = -∫ | dx | ||||
| (x + 1)² + 4 | 4·[( | x + 1 | )² + 1] | ( | x + 1 | )² + 1 | |||
| 2 | 2 | ||||||||
Llamando u = (x + 1)/2, u' = ½. Multiplicando y dividiendo por ½:
| -∫ | 1 | ·dx = -2·∫ | ½ | ·dx = | ||||
| ( | x + 1 | )² + 1 | ( | x + 1 | )² + 1 | |||
| 2 | 2 | |||||||
= -2·arctg ½·(x + 1) + C₂
d)
Sumando los resultados de (b) y (c), (C₁ + C₂ = C),
∫ (3·x - 1)/(x² + 2·x + 5)·dx = (3/2)·ln [(x + 1)² + 4] - 2·arctg (x + 1)/2 + C,
Resultado igual al obtenido aplicando directamente la fórmula.
Ejemplo nº 2
Calcular:
∫ (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x)·dx
Solución
Se calculan las raíces del denominador.
| x³ + 6·x² + 9·x = x·(x² + 6·x + 9) = 0 ⇒ | x = 0 ó x² + 6·x + 9 = 0 |
x² + 6·x + 9 = 0 ⇒ x = (-6 ± √36 - 36)/2 ⇒ x = (-6 ± 0)/2 ⇒ x = -3
Tiene las raíces x = 0, simple, y x = -3, doble. Así,
x·(x² + 6·x + 9) = x·(x + 3)²
Se descompone (2·x + 5)/(x³ + 6·x² + 9·x) en fracciones simples:
| 2·x + 5 | = | A | + | B | + | C | = |
| x³ + 6·x² + 9·x | x | x + 3 | (x + 3)² |
| 2·x + 5 | = | A·(x + 3)² + B·(x + 3) + C·x |
| x³ + 6·x² + 9·x | x·(x + 3)² |
Igualando los numeradores,
2·x + 5 = A·(x + 3)² + B·x·(x + 3) + C·x
Se dan valores a x:
Si:
x = 0: 5 = A·(0 + 3)² = 9·A
A = 5/9
Si:
x = -3: 2·(-3) + 5 = -3·C ⇒ -1 = -3·C
C = ⅓
Si:
x = 1: 7 = 16·A + 4·B + C
7 = 16·5/9 + 4·B + ⅓
63 = 80 + 36·B + 3
-20 = 36·B
B = -5/9
Así,
| ∫ | 2·x + 5 | ·dx = |
| x³ + 6·x² + 9·x |
| = ∫ | 5/9 | ·dx + ∫ | -5/9 | ·dx + ∫ | ⅓ | ·dx |
| x | x + 3 | (x + 3)² |
= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| + ⅓·∫ (x + 3)⁻²·dx
= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| + ⅓·(x + 3)⁻¹/(-1) + C
= (5/9)·ln |x| - (5/9)·ln |x + 3| - 1/[3·(x + 3)] + C
Ejemplo nº 3
Calcular:
∫ (3·x² + 5)/[(x - 2)·(x² + 2·x + 4)]·dx
Solución
Raíces de (x - 2)·(x² + 2·x + 4):
x - 2 = 0 ⇒ x = 2
| x² + 2·x + 4 = 0 ⇒ | x₁ = -1 + i·√3 x₂ = -1 - i·√3 |
x² + 2·x + 4 = (x + 1 + i·√3)·(x + 1 - i·√3) = (x + 1)² + 3
Descomposición en fracciones simples:
| 3·x² + 5 | = | A | + | M·x + N | = |
| (x - 2)·(x² + 2·x + 4) | x - 2 | (x + 1)² + 3 |
| 3·x² + 5 | = | A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + N)·(x - 2) |
| (x - 2)·(x² + 2·x + 4) | (x - 2)·(x² + 2·x + 4) |
Se identifican los numeradores y se dan valores a x:
3·x² + 5 = A·(x² + 2·x + 4) + (M·x + n)·(x - 2)
Si x = 2 ⟶ 17 = A·12 ⇒ A = 17/12
Si x = 0 ⟶ 5 = A·4 - 2·N ⇒ 5 = 17/3 - 2·N ⇒ N = (17/3 - 5)/2 ⇒ N = ⅓
Si x = 1 ⟶ 8 = A·7 - M - N ⇒ 8 = 119/12 - M - ⅓ ⇒ M = 19/12
| ∫ | 3·x² + 5 | ·dx = |
| (x - 2)·(x² + 2·x + 4) |
| = ∫ | 17/12 | ·dx + ∫ | (19/12)·x + ⅓ | ·dx |
| x - 2 | (x + 1)² + 3 |
| ∫ | 17/12 | ·dx = | 17 | ·ln |x - 2| + C₁ |
| x - 2 | 12 |
| ∫ | (19/12)·x + ⅓ | ·dx = |
| (x + 1)² + 3 |
| = ½· | 19 | ·ln [(x + 1)² + 3] + |
| 12 |
| + | (19/12)ยท(-1) + ⅓ | ·arc tg | x + 1 | + C₂ = |
| √3 | √3 |
| = | 19 | ·ln [(x + 1)² + 3] - |
| 24 |
| - | -5 | ·arc tg | | x + 1 | | + C₂ = |
| 4·√3 | √3 |
Luego:
| ∫ | 3·x² + 5 | ·dx = |
| (x - 2)·(x² + 2·x + 4) |
| = | 17 | ·ln |x - 2| + | 19 | ·ln [(x + 1)² + 3] - |
| 12 | 24 |
| - | -5 | ·arc tg | | x + 1 | | + C₂ |
| 4·√3 | √3 |
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es una integral en matemáticas?