Integrales dobles (primera parte)

F:A ⊂ ℜ² ⟶ ℜ S ⊂ A

∬_d F(x, y)·dx·dy

Interpretación geométrica en ℜ³: volumen debajo del gráfico de F

Gráfico de interpretación del volumen bajo la curva

Teorema de Fubini

(*) Caso de limites bien definidos

Gráfico del recorrido para determinar los límites

Propiedades:

1) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ², y dadas α y β ∈ ℜ:
∬_A (α·F + β·G)(x, y)·dx·dy = α·∬_A F(x, y)·dx·dy + β·∬_A G(x, y)·dx·dy

2) Dadas F y G continuas en A ⊂ ℜ² tales que F(x, y) ≥ G(x, y), ∀ (x, y) ∈ A:
∬_A F(x, y)·dx·dy ≥ ∬_A G(x, y)·dx·dy

Cálculo de áreas

Área (A) = ∬_A dx·dy

Ejemplo:

Calcular el área de A ⊂ ℜ², limitada por las curvas y = eˣ, y = e⁻ˣ, y = e²

Gráfico de las curvas que limitan el área de integración

Cálculo de masas

Masa = ∬_A δ(x, y)·dx·dy donde δ(x, y) es la densidad superficial

Centro de masa

X (cm) = ∬_A x·δ(x, y)·dx·dy/M

Y (cm) = ∬_A y·δ(x, y)·dx·dy/M

Teorema:

∬_A F(x, y)·dx·dy = ∬_A+ F(G(u, v))·|det DG|·du·dv

Observaciones: det DG ≠ 0 para formar un área.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.