Integrales dobles (segunda parte)
Cambio de coordenadas en las integrales dobles
De coordenadas cartesianas a polares:
Conviene cuando el dominio es circular para lograr límites de integración constantes.
1) Cambio de dominio: D ⟶ D'
2) Cambio de función: f(x, y) ⟶ f(r·cos θ, r·sen θ)
3) Cambio de elemento de área: dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y) dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Cálculo del área de un dominio:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
De coordenadas cartesianas a curvilíneas:
Conviene para trasladar el dominio al eje de coordenadas y para redondearlo, luego proceder en polares si es que sirve.
Siendo:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
Resulta:
∬D f(x, y) dx·dy = ∬D' f(x(u, v), y(u, v))·|J(u, v)|·du·dv
dx·dy ⟶ |J(u, v)|·du·dv
ó siendo:
| x = r·cos θ | ⟶ J(θ, r) = | -r·sen θ | cos θ | = -r |
| y = r·sen θ | r·cos θ | sen θ |
Resulta:
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Volumen de un sólido de revolución
Para el dominio:
D = {(x, y): x₁ ≤ x ≤ x₂, α(x) ≤ y ≤ β(x)}
Alrededor del eje x:
Vₓ = 2·π·∬D y·dx·dy
| Vₓ = 2·π·∫ | x₂ | ∫ | y₂ = β(x) | y·dy |
| x₁ | y₁ = α(x) |
Baricentro de un dominio plano
Si: δ = δ(x, y)
El punto G = (xG, yG) es el baricentro, según:
| xG = | ∬D x·δ(x, y)·dx·dy |
| ∬D δ(x, y)·dx·dy | |
| yG = | ∬D y·δ(x, y)·dx·dy |
| ∬D δ(x, y)·dx·dy | |
Si δ es constante:
| xG = | ∬D x·dx·dy |
| AD | |
| yG = | ∬D y·dx·dy |
| AD | |
Teorema de Pappus-Guldin
El volumen del sólido de rotación es igual al área de la sección meridiana multiplicada por la longitud de la circunferencia descrita por su baricentro.
Vₓ = AD·lG
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina
¿Para qué sirven las integrales dobles? Integrales dobles aplicaciones.