Integrales triples
Condiciones para que una integral se anule
Gráfico del dominio a integrar
Con respecto al plano y = 0 (xz)
El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano y = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.
Para el dominio f(x, y, z) la condición de simetría es:
f(x, y, z) = f(-x, y, z)
Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:
g(x, y, z) ≠ g(-x, y, z)
Con respecto al plano x = 0 (yz)
El dominio D debe ser simétrico con respecto al plano x = 0, y la función integranda debe ser antisimétrica con respecto al mismo plano.
Para el dominio f(x, y, z) la condición de simetría es:
f(x, y, z) = f(x, -y, z)
Para la integranda g(x, y, z) la condición de antisimetría es:
g(x, y, z) ≠ g(x, -y, z)
Primera Fórmula:
| ∭D f(x, y, z)·dx·dy·dz = ∬Dxy dx·dy ∫ | β(x,y) | f(x, y, z)·dz |
| α(x,y) |
Para un volumen:
| ∭D dx·dy·dz = ∬Dxy [β(x, y) - α(x, y)]·dx·dy |
Segunda Fórmula:
| ∭D f(x, y, z)·dx·dy·dz = ∫ | b | dz·∬Sz f(x, y, z)·dx·dy |
| a |
Para un volumen:
| ∭D dx·dy·dz = ∫ | b | dz·∬Sz·dx·dy |
| a |
Cambio de coordenadas
A coordenadas esféricas:
Conviene cuando el dominio es esférico, cono con tapa esférica, para lograr límites de integración constantes.
x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ
dx·dy·dz = |J|·dθ·dr·dφ
∭D f(x, y, z) dx·dy·dz = ∭D' f(r·cos θ·sen φ, r·sen θ·sen φ, r·cos φ)·r²·dθ·dr·dφ
A coordenadas curvilíneas:
x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
dx·dy·dz = |J|·(u, v, w) du·dv·dw
∭D f(x, y, z) dx·dy·dz = ∭D' f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J|·(u, v, w) du·dv·dw
Baricentro de un sólido
| xG = | ∭D x·dx·dy·dz |
| ∭D dx·dy·dz | |
| yG = | ∭D y·dx·dy·dz |
| ∭D dx·dy·dz | |
| zG = | ∭D z·dx·dy·dz |
| ∭D dx·dy·dz | |
Baricentro: G(xG, yG, zG)
Relaciones Utiles:
cos² x + sen² x = 1
2·sen x·cos x = sen 2·x
cos² x - sen² x = cos 2·x
cosh² x - senh² x = 1
cosh α = (eˣ + e⁻ˣ)/2
senh α = (eˣ - e⁻ˣ)/2
∫ sen² α·dα = ½·[1 - (sen α)·(cos α)]
∫ cos² α·dα = ½·[1 + (sen α)·(cos α)]
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina