Divergencia, rotor, Stokes
Teniendo en cuenta el siguiente operador:
| ∇ = ( | ∂ | , | ∂ | , | ∂ | ) |
| ∂x | ∂y | ∂z |
Divergencia
Se aplica a campos vectoriales.
Sea F(x) = (f₁, f₂, f₃)
Resulta:
div F = ∇F
Esto es una función
Rotor
Se aplica a campos vectoriales.
Sea F(x) = (f₁, f₂, f₃)
Resulta:
rot F = ∇xF
Esto es un campo vectorial
Divergencia del gradiente
Se aplica a funciones.
Sea φ (x, y, z)
Resulta:
div grad φ = ∇²φ
Siendo:
| ∇² = ( | ∂² | , | ∂² | , | ∂² | ) |
| ∂x² | ∂y² | ∂z² |
Ecuación de Laplace
Si ∇²φ = 0
La función es armónica.
Fórmulas de Green en ℜ³
Si T es un sólido regular y ∂T es la página exterior, resulta:
∬∂T f(x, y, z)·E₁·dS = ∭T fₓ(x, y, z)·dx·dy·dz
∬∂T f(x, y, z)·E₂·dS = ∭T fy(x, y, z)·dx·dy·dz
∬∂T f(x, y, z)·E₃·dS = ∭T fz(x, y, z)·dx·dy·dz
Teorema de la divergencia o de Gauss en ℜ³
Si F es un campo vectorial y T un sólido, resulta:
∬∂T F·dS = ∭T div F·dt
Aplicaciones:
Teorema de Stokes
Si F es un campo vectorial definido en una superficie orientable S con dominio base D, resulta:
∫∂S F·dC = ∬S rot F·dS
Circulación del campo
∮C F·dC = ∬S rot F·dS
La circulación del campo F sobre la trayectoria cerrada C es igual al flujo de rot F a través de cualquier superficie regular orientable que la tenga como borde.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina