Problema nº 2-b de integrales, área de un dominio en coordenadas polares - TP01
Enunciado del ejercicio nº 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
b)
r = sen θ + cos θ; 0 ≤ θ ≤ π/2
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando la fórmula de área:
α = π/2
β = 0
| A = ½·∫ | π/2 | (sen θ + cos θ)²·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π/2 | (sen² θ + 2·sen θ·cos θ + cos² θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π/2 | (1 + 2·sen θ·cos θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | π/2 | dθ + ∫ | π/2 | sen θ·cos θ·dθ |
| 0 | 0 |
| A = ½·[θ] | π/2 | dθ + ½·[sen² θ] | π/2 |
| 0 | 0 |
A = ½·π/2 + ½·(sen² π/2 - sen² 0)
A = ½·π/2 + ½·(1 - 0)
Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:
A = π/2 + ½
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.