Problema nº 2-g de integrales, área de un dominio en coordenadas polares - TP01
Enunciado del ejercicio nº 2
Calcular el área de los dominios limitados por las siguientes curvas:
g)
r = 3 + sen θ; r = 2 + sen θ
Desarrollo
Fórmulas:
Cambio a polares:
x = r·cos θ
y = r·sen θ
dx·dy = r·dθ·dr
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f(r·cos θ, r·sen θ)·r·dθ·dr
Área:
| A = ½·∫ | β | (r(θ))²·dθ |
| α |
Cambio a curvilíneas:
x = x(u, v)
y = y(u, v)
dx·dy = |J(u, v)|·du·dv
∬D f(x, y)·dx·dy = ∬D' f[x(u, v), y(u, v)]·|J(u, v)|·du·dv
Solución
Aplicando la fórmula de área:
| A = ½·∫ | 2·π | [(3 + sen θ)² - (2 + sen θ)²]·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | 2·π | [9 + 6·sen θ + sen² θ - (4 + 4·sen θ + sen² θ)]·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | 2·π | (9 + 6·sen θ + sen² θ - 4 - 4·sen θ - sen² θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·∫ | 2·π | (5 + 2·sen θ)·dθ |
| 0 |
| A = ½·(5·θ - 2·cos θ) | 2·π |
| 0 |
A = ½·(5·2·π - 2·cos 2·π) - ½·(5·0 - 2·cos 0)
A = ½·(10·π - 2·1) - ½·(-2·1)
Resultado, el área del dominio limitado por la curva es:
A = 5·π - 1 + 1 = 5·π
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular el área de un dominio en coordenadas polares.