Problema nº 3 de integral sobre una curva - TP04
Enunciado del ejercicio nº 3
∫C (x² + y²)·ds
Donde C es la circunferencia:
(x - 1)² + y² = 1
Aplicando:
| ∫C f(x)·ds = ∫ | b | f(C(t))·||C'||·dt |
| a |
Parametrizando la circunferencia:
C = (1 + cos t, sen t); 0 ≤ t ≤ 2·π
Calculando las partes:
C' = (-sen t, cos t)
||C'|| = √(-sen t)² + (cos t)²
||C'|| = √sen² t + cos² t
||C'|| = √1
||C'|| = 1
f(X) = x² + y²
f(C(t)) = (1 + cos t)² + (sen t)²
f(C(t)) = 1 + 2·cos t + cos² t + sen² t
f(C(t)) = 1 + 2·cos t + 1
f(C(t)) = 2 + 2·cos t
f(C(t)) = 2·(1 + cos t)
Armando la integral:
∫C (x² + y²)·ds =
| = ∫ | 2·π | 2·(1 + cos t)·dt = |
| 0 |
| = 2·∫ | 2·π | (1 + cos t)·dt = |
| 0 |
| = 2·(1 + sen t) | 2·π | = |
| 0 |
= 2·[2·π + sen (2·π)] = 4·π
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo calcular la integral sobre una curva.