Problema nº 2 de integrales, flujo saliente a través de un sólido - TP06

Enunciado del ejercicio nº 2

Calcular:

∬∂T F·dS

Donde F = X = (x, y, z) y T es el sólido comprendido entre dos superficies esféricas de centro en el origen y radios 1 y 2.

Desarrollo

Fórmulas:

∬∂T F·dS = ∭T div F·dT

Vol T = ∬∂T x·E₁·dS

Vol T = ∬∂T y·E₁·dS

Vol T = ∬∂T z·E₁·dS

Solución

Hallamos la divergencia del campo:

F = (x, y, z) ⇒ ∇ F = (1 + 1 + 1)

∇F = 3

Planteamos la integral donde será flujo saliente para la S₁ y flujo entrante para la S₂:

Flujo = ∬∂T F·dS = 3·∭T1 dx·dy·dz - ∭T2 dx·dy·dz

S₁: x² + y² + z² = 2

S₂: x² + y² + z² = 1

Cambiamos a sistema de coordenadas esféricas:

x = r·(cos θ)·(sen φ)
y = r·(sen θ)·(sen φ)
z = r·cos φ		⟶ |J| = r²·sen φ ⟶0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2·π
0 ≤ φ ≤ π

Resolvemos:

Flujo = 3·∭T1 dx·dy·dz - 3·∭T2 dx·dy·dz

Flujo = 3·∭T'1 r²·sen φ·dθ·dφ·dr -3·∭T'2 r²·sen φ·dθ·dφ·dr

Flujo = 3·∫2·πdθ∫2r²·dr∫πsen φ·dφ - 3·∫2·πdθ∫1r²·dr∫πsen φ·dφ
      
000000
Flujo = 3·∫2·πdθ∫2(cos φ)0r²·dr - 3·∫2·πdθ∫1(cos φ)0r²·dr
      
00π00π
Flujo = 3·∫2·πdθ∫2(cos 0 - cos π)·r²·dr - 3·∫2·πdθ∫1(cos 0 - cos π)·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·∫2·πdθ∫2[1 - (-1)]·r²·dr - 3·∫2·πdθ∫1[1 - (-1)]·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·∫2·πdθ∫2(1 + 1)·r²·dr - 3·∫2·πdθ∫1(1 + 1)·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·∫2·πdθ∫22·r²·dr - 3·∫2·πdθ∫12·r²·dr
    
0000
Flujo = 3·2·∫2·π(⅓·r³)2·dθ - 3·2·∫2·π(⅓·r³)1·dθ
    
0000
Flujo = 6·∫2·π⅓·(2³ - 0³)·dθ - 6·∫2·π⅓·(1³ - 0³)·dθ
  
00
Flujo = 6·⅓·∫2·π8·dθ - 6·⅓·∫2·π1·dθ
  
00
Flujo = 2·8·∫2·πdθ - 2·∫2·πdθ
  
00
Flujo = 16·(θ)2·π- 2·(θ)2·π
  
00

Flujo = 16·(2·π - 0) - 2·(2·π - 0)

Flujo = 16·2·π - 2·2·π = 32·π - 4·π

Resultado, el flujo saliente del campo es:

Flujo = 28·π

Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un sólido

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