Problema nº 7 de integrales, cálculo del momento de inercia de sólidos - TP08

Enunciado del ejercicio nº 7

Calcular el momento de inercia, respecto del eje z, del siguiente sólido homogéneo

{(x, y, z): x² + y² ≤ z², (x - 1)² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 4}

Desarrollo

Fórmulas:

Para sólidos homogéneos:

I_z = ∭_D (x² + y²) dx·dy·dz

Solución

Gráfico del dominio para el cálculo del momento de inercia

Calculamos el volumen:

V = ∭_D dx·dy·dz

V = ∬_Dxy (4 - √x² + y²)·dx·dy

Cambiando a coordenadas polares:

V = ∬_D'xy [4 - √(r·cos θ)² + (r·sen θ)²]·r·dθ·dr

V = ∬_D'xy (4 - √r²·cos² θ + r²·sen² θ)·r·dθ·dr

V = ∬_D'xy [4 - √r²·(cos² θ + sen² θ)]·r·dθ·dr

V = ∬_D'xy (4 - √r²)·r·dθ·dr

V = ∬_D'xy (4·r - r²)·dθ·dr

Hallamos el límite de integración correspondiente a r:

(x - 1)² + y² = 1

(r·cos θ - 1)² + (r·sen θ)² = 1

r²·cos² θ - 2·r·cos θ + 1 + r²·sen² θ = 1

r²·(cos² θ + sen² θ) - 2·r·cos θ = 0

r² - 2·r·cos θ = 0

r·(r - 2·cos θ) = 0

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

Para θ:

-π/2 ≤ θ ≤ π/2

cos³ θ = cos θ·(1 - sen² θ) = cos θ - cos θ·sen² θ

V = 16·(½·π/2 + ½·sen π/2·cos π/2 - ⅓·sen π/2 - ⅑·sen³ π/2) - 16·(½·0 + ½·sen 0·cos 0 - ⅓·sen 0 - ⅑·sen³ 0)

V = 16·(¼·π + ½·1·0 - ⅓·1 - ⅑·1) - 16·(0 + ½·0·1 - ⅓·0 - ⅑·0)

V = 16·(¼·π - ⅓ - ⅑)

V = 16·(¼·π - 4/9)

V = 4·π - 16·(4/9)

V = 4·π - 64/9

Ahora calculamos la integral:

I_z = ∭_D (x² + y²)·dx·dy·dz

Cambiando a coordenadas polares:

Los límites de integración son los mismos:

0 ≤ r ≤ 2·cos θ

-π/2 ≤ r ≤ π/2

Resultado, el momento de inercia del sólido es:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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