Problema nº 6 de integrales superficiales de campos vectoriales, flujo saliente a través de un cono
Enunciado del ejercicio nº 6
Calcular el flujo saliente del campo (y - z, z - x, x - y) a través de la superficie cónica z² = x² + y², 0 ≤ z ≤ h.
Si:
F = (y - z, z - x, x - y)
S: z² = x² + y² ⇒ z = (x² + y²)½
Desarrollo
Fórmulas:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·(Xᵤ ∧ Xᵥ)·du·dv
Solución
Parametrizando el cono:
x = u
y = v
z = 1 - (x² + y²)
X(u, v) = [u, v, (x² + y²)½]
0 ≤ z ≤h ⇒ 0 ≤ (x² + y²)½ ≤ h
Hallamos el vector normal:
| Xᵤ = (1, 0, | -u | ) |
| √u² + v² |
| Xᵥ = (0, 1, | -v | ) |
| √u² + v² |
n = Xᵤ×Xᵥ
| n = | E₁ | -E₂ | E₃ |
| 1 | 0 | -u √u² + v² | |
| 0 | 1 | -v √u² + v² |
| n = [-( | -u | ), -( | -v | ), 1] |
| √u² + v² | √u² + v² |
| n = ( | u | , | v | , 1) |
| √u² + v² | √u² + v² |
Para el punto (0, 1, 1), resulta n = (0, 1, 1) que apunta hacia fuera, es decir la parametrización corresponde a la página exterior que es lo pedido.
Parametrizamos el campo:
F(X(u, v)) = (v - √u² + v², √u² + v² - u, u - v)
Aplicamos la integral:
∬S F(x)·ds = ∬D F(X(u, v))·n·du·dv
| ∬S F(x)·ds = ∬D (v - √u² + v², √u² + v² - u, u - v)·( | u | , | v | , 1)·du·dv = |
| √u² + v² | √u² + v² |
| = ∬D ( | u·(v - √u² + v²) | + | v·(√u² + v² - u) | + u - v)·du·dv = |
| √u² + v² | √u² + v² |
| = ∬D ( | u·v - u·√u² + v² | + | v·√u² + v² - v·u | + u - v)·du·dv = |
| √u² + v² | √u² + v² |
| = ∬D ( | u·v - u·√u² + v² + v·√u² + v² - u·v + (u - v)·√u² + v² | )·du·dv = |
| √u² + v² |
| = ∬D ( | (v - u)·√u² + v² + (u - v)·√u² + v² | )·du·dv = |
| √u² + v² |
| = ∬D ( | (v - u)·√u² + v² - (v - u)·√u² + v² | )·du·dv = |
| √u² + v² |
Se anula el numerador:
| = ∬D ( | 0 | )·du·dv = |
| √u² + v² |
= ∬D (0)·du·dv =
Resultado, el flujo saliente del campo es:
Flujo = 0
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo calcular el flujo saliente a través de un cono