Problema nº 6 de teorema de Stokes en una superficie
Enunciado del ejercicio nº 6
Sea F = α(r)·X, con r = ||X||, un campo central de clase C¹ en ℜ³, y sea S la superficie regular x² + y² + r²/4 = 1, z ≥ 0. Verificar el teorema de Stokes.
Desarrollo
Fórmulas:
∫∂S F·dC = ∬S rot F·dS
dC = C'(t)·dt
dS = (Xᵤ ∧ Xᵥ)·du·dv
| rot F = | E₁ | -E₂ | E₃ |
| ∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z | |
| f₁ | f₂ | f₃ |
Solución
Por ser un campo de forma F = α(r)·X es conservativo en ℜ³, resultando rot F = 0, luego:
∬S α rotF·dS = 0
Concluyendo con el segundo miembro del teorema, para el primer miembro y con un esquema similar a la figura del ejercicio 3, parametrizamos la frontera de S₁, es decir ∂S:
C = (cos t, sen t, 0), 0 ≤ t ≤ 2·π
Preparamos las partes de la integral:
C' = (-sen t, cos t, 0)
De la superficie surge que r = 1:
F(C(t)) = α(1)·(cos t, sen t, 0)
Planteamos la integral del primer miembro:
| ∫∂S F·dC = ∫ | a | F(C(t))·C'(t)·dt = |
| b |
| = ∫ | 2·π | α(1)·(-sen t·cos t + sen t·cos t)·dt = |
| 0 |
| = α(1)·∫ | 2·π | 0·dt = |
| 0 |
= α(1)·0 = 0 ∎
Verificado
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
Ejemplo, cómo verificar el teorema de Stokes en una superficie