Problema nº 2 de integrales, ecuación cartesiana del plano tangente a una superficie - TP11
Enunciado del ejercicio nº 3
Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
X(u, v) = (2·v·cos u, v·sen u, v²)
En correspondencia a (u, v) = (π/4, 1).
Desarrollo
Fórmulas:
Plano tangente: Z·(Xᵤ×Xᵥ) = X₀·(Xᵤ×Xᵥ)
Recta normal: Z = X₀ + t·(Xᵤ×Xᵥ)
Solución
Sus derivadas son:
Xᵤ = (-2·v·sen u, v·cos u, 0)
Xᵥ = (2·cos u, sen u, 2·v)
En el punto son:
Xᵤ(π/4, 1) = (-2·sen π/4, cos π/4, 0)
Xᵤ(π/4, 1) = (-2·½·√2, ½·√2, 0)
Xᵤ(π/4, 1) = (-√2, ½·√2, 0)
Xᵥ(π/4, 1) = (2·cos π/4, sen π/4, 2)
Xᵥ(π/4, 1) = (2·½·√2, ½·√2, 2)
Xᵥ(π/4, 1) = (√2, ½·√2, 2)
X₀(π/4, 1) = (2·cos π/4, sen π/4, 1)
X₀(π/4, 1) = (2·½·√2, ½·√2, 1)
X₀(π/4, 1) = (√2, ½·√2, 1)
El producto vectorial es:
n = Xᵤ×Xᵥ
n = (-√2, ½·√2, 0)×(√2, ½·√2, 2)
n = | E₁ | -E₂ | E₃ |
-√2 | ½·√2 | 0 | |
√2 | ½·√2 | 2 |
n = [½·√2·2 - 0, -(-√2·2 - 0), -√2·½·√2 - √2·½·√2]
n = Xᵤ×Xᵥ = (√2, 2·√2, -2)
Plano tangente:
Z·(Xᵤ×Xᵥ) = X₀·(Xᵤ×Xᵥ)
(x, y, z)·(√2, 2·√2, -2) = (√2, ½·√2, 1)·(√2, 2·√2, -2)
√2·x + 2·√2·y - 2·z = (√2)² + (½·√2)·2·√2 - 2
√2·x + 2·√2·y - 2·z = 2 + (√2)² - 2
√2·x + 2·√2·y - 2·z = 2
Recta Normal:
Z = X₀ + t·(Xᵤ×Xᵥ) ⇒ (x, y, z) = (√2, ½·√2, 1) + t·(√2, 2·√2, -2)
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie