Problema nº 3 de integrales, ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie - TP11

Enunciado del ejercicio nº 4

Escribir la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie:

X(u, v) = (e^v·cos u, e^v·sen u, v)

En el punto correspondiente a (u₀, v₀) = (π/2, 1).

Desarrollo

Fórmulas:

Plano tangente: Z·(Xᵤ·Xᵥ) = X₀·(Xᵤ·Xᵥ)

Recta normal: Z = X₀ + t·(Xᵤ·Xᵥ)

Solución

Sus derivadas son:

Xᵤ = (-e^v·sen u, e^v·cos u, 0)

Xᵥ = (e^v·cos u, e^v·sen u, 1)

En el punto son:

Xᵤ(π/2, 1) = (-e·sen π/2, e·cos π/2, 0)

Xᵤ(π/2, 1) = (-e, 0, 0)

Xᵥ(π/2, 1) = (e·cos π/2, e·sen π/2, 1)

Xᵥ(π/2, 1) = (0, e, 1)

X(π/2, 1) = (e·cos π/2, e·sen π/2, 1)

X(π/2, 1) = (0, e, 1)

El producto vectorial es:

Xᵤ·Xᵥ = (0, e, -e²)

Plano tangente:

Z·(Xᵤ·Xᵥ) = X₀·(Xᵤ·Xᵥ)

(x, y, z)·(0, e, -e²) = (0, e, 1)·(0, e, -e²)

e·y - e²·z = e² - e²

y - e·z = 0

Recta Normal:

Z = X₀ + t·(Xᵤ·Xᵥ)

(x, y, z) = (0, e, 1) + t·(0, e, -e²)

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo hallar la ecuación del plano tangente y de la recta normal a una superficie