Problemas n° 1-g y 1-h de integración indefinidas en forma directa - TP14
Enunciado del ejercicio n° 1-i y 1-j
Calcular las siguientes integrales inmediatas:
i) I = ∫ | sen 2·x | ·dx |
sen x |
j) I = ∫(sen | x | + cos | x | )²·dx |
2 | 2 |
Solución
i)
I = ∫ | sen 2·x | ·dx |
sen x |
Por las propiedades trigonométrica:
sen 2·x = 2·sen x·cos x
Reemplazamos:
I = ∫ | 2·sen x·cos x | ·dx |
sen x |
Simplificamos:
I = ∫2·cos x·dx
Extraemos la constante fuera del signo de integral:
I = 2·∫cos x·dx
Integramos:
I = 2·sen x + C
j)
I = ∫(sen | x | + cos | x | )²·dx |
2 | 2 |
Desarrollamos el binomio al cuadrado:
I = ∫[(sen | x | )² + 2·sen | x | ·cos | x | + (cos | x | )²]·dx |
2 | 2 | 2 | 2 |
I = ∫(sen² | x | + cos² | x | + 2·sen | x | ·cos | x | )·dx |
2 | 2 | 2 | 2 |
Por la relación pitagórica:
sen² x + cos² x = 1
Reemplazamos:
I = ∫(1 + 2·sen | x | ·cos | x | )·dx |
2 | 2 |
Por las propiedades trigonométrica:
sen 2·x = 2·sen x·cos x
Lo que es:
sen 2· | x | = 2·sen | x | ·cos | x |
2 | 2 | 2 |
sen x = 2·sen | x | ·cos | x |
2 | 2 |
Reemplazamos:
I = ∫(1 + sen x)·dx
I = ∫dx + ∫sen x·dx
Integramos:
I = x - cos x + C
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
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Ejemplo, cómo integrar funciones en forma directa