Problemas nº 1-c y 1-d de integración de funciones por el método de sustitución - TP16

Enunciado del ejercicio nº 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales por sustitución:

e) I = ∫	dx
	1 - cos x

f) I = ∫	√tg x + 1	·dx
	cos² x

I = ∫	dx
	1 - cos x

sen (x/2) = √(1 - cos x)/2

sen² (x/2) = (1 - cos x)/2

2·sen² (x/2) = 1 - cos x

Reemplazamos:

I = ∫	dx
	2·sen² (x/2)

Sustituimos:

u = sen (x/2)

Derivamos:

du = ½·cos (x/2)·dx

Despejamos convenientemente el diferencial:

2·du	= dx
cos (x/2)

Reemplazamos:

I = ∫	2·du
	2·u²

Simplificamos:

I = ∫	du
	u²

I = ∫u⁻²·du

Integramos:

I =	u⁻² ⁺ ¹	+ C
	-2 + 1

I =	u⁻¹	+ C
	-1

I = -	1	+ C
	u

Reemplazamos:

I = -	1	+ C
	sen (x/2)

I = ∫	√tg x + 1	·dx
	cos² x

Sustituimos:

u = tg x + 1

Derivamos:

du =	1	·dx
	cos² x

Reemplazamos:

I = ∫√u·du

Integramos:

I =	u^{½ + 1}	+ C
	½ + 1

I = ⅔·u^3/2 + C

Reemplazamos:

I = ⅔·√(tg x + 1)³ + C

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por el método de sustitución