Problemas nº 1-e y 1-f de integración de funciones por partes - TP18

Enunciado del ejercicio nº 1-e y 1-f

Calcular las siguientes integrales por partes:

e) I = ∫arc tg 5·x·dx

f) I = ∫x·arc cos x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ∫arc tg 5·x·dx

u = arc tg 5·x

dv = dx

v = x

du =	5	·dx
	1 + 25·x²

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x·arc tg 5·x - ∫	5·x	·dx
	1 + 25·x²

I = x·arc tg 5·x - 5·∫	x	·dx
	1 + 25·x²

Aplicamos integración por sustitución para el segundo término:

u = 1 + 25·x²

Derivamos:

du = 2·25·x·dx

du	·x·dx
50

Integramos:

∫	1	·du =	1	·ln \|u\|
	50·u		50

Reemplazamos:

I = x·arc tg 5·x - 5·	1	·ln (1 + 25·x²) + C
	50

I = x·arc tg 5·x -	1	·ln (1 + 25·x²) + C
	10

I = ∫x·arc cos x·dx

u = arc cos x

dv = x·dx

du = -	1	·dx
	(1 - x²)^½

v = ½·x²

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ½·x²·arc cos x - ∫½·x²·	-1	·dx
	(1 - x²)^½

I = ½·x²·arc cos x + ½·∫	x²	·dx
	(1 - x²)^½

Aplicamos integración por sustitución trigonométrica para el segundo término:

x = sen t

(1 - x²)^½ = cos t

∫	x²	·dx = ∫sen² t·dt = ∫	1 - cos 2·t	·dt
	(1 - x²)^½		2

∫	x²	·dx = ½·∫(1 - cos 2·t)·dt
	(1 - x²)^½

Integramos:

∫	x²	·dx = ½·(t - ½·sen 2·t)
	(1 - x²)^½

∫	x²	·dx = ½·(t - ½·2·sen t·cos t)
	(1 - x²)^½

Reemplazamos:

∫	x²	·dx = ½·[arc sen x - x·(1 - x²)^½]
	(1 - x²)^½

La integral completa es:

I = ½·x²·arc cos x + ½·½·[arc sen x - x·(1 - x²)^½] + C

I = ½·x²·arc cos x + ¼·arc sen x - ¼·x·(1 - x²)^½ + C

I = ½·arc cos x + ¼·arc sen x - ¼·x·√1 - x² + C

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por partes