Problemas nº 1-i y 1-j de integración de funciones por partes - TP18

Enunciado del ejercicio nº 1-i y 1-j

Calcular las siguientes integrales por partes:

i) I = ∫x·sec² x·dx

j) I = ∫e²˙ˣ·cos ½·x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

i)

I = ∫x·sec² x·dx

u = x

dv = sec² x·dx

v = tg x

du = dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = x²·tg x - ∫tg x·dx

De tablas:

I = x·tg x - (-ln |cos x|)·dx + C

I = x·tg x + ln |cos x| + C

j)

I = ∫e²˙ˣ·cos (½·x)·dx

u = cos (½·x)

dv = e²˙ˣ·dx

v = ½·e²˙ˣ

du = -½·sen (½·x)·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ½·e²˙ˣ·cos (½·x) - ∫½·e²˙ˣ·[-½·sen (½·x)·dx]

I = ½·e²˙ˣ·cos (½·x) - ½·∫e²˙ˣ·[-½·sen (½·x)·dx]

I = ½·e²˙ˣ·cos (½·x) + ¼·∫e²˙ˣ·sen (½·x)·dx

Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = sen (½·x)

dv = e²˙ˣ·dx

v = ½·e²˙ˣ

du = ½·cos (½·x)·dx

I = ½·e²˙ˣ·cos (½·x) + ¼·[½·e²˙ˣ·sen (½·x) - ∫½·e²˙ˣ·½·cos (½·x)·dx]

I = ½·e²˙ˣ·cos (½·x) + ¼·[½·e²˙ˣ·sen (½·x) - ½·½·∫e²˙ˣ·cos (½·x)·dx]

I = ½·e²˙ˣ·cos (½·x) + ¼·½·e²˙ˣ·sen (½·x) - ¼·¼·∫e²˙ˣ·cos (½·x)·dx

El último término es igual a la integral inicial.

Pasamos el término:

Sumamos las fracciones:

Simplificamos y despejamos:

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

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Ejemplo, cómo integrar funciones por partes