Problemas n° 1-k y 1-l de integración de funciones por partes - TP18
Enunciado del ejercicio n° 1-k y 1-l
Calcular las siguientes integrales por partes:
k) I = ∫ | ln x | ·dx |
(x + 1)² |
l) I = ∫eˣ·sen x·cos x·dx
Solución
Fórmulas:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
k)
I = ∫ | ln x | ·dx |
(x + 1)² |
I = ∫(x + 1)⁻²·ln x·dx
u = ln x
dv = (x + 1)⁻²·dx
v = | (x + 1)⁻² ⁺ ¹ |
-2 + 1 |
v = | (x + 1)⁻¹ |
-1 |
v = | -1 |
x + 1 |
du = | 1 | ·dx |
x |
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = | -1 | ·ln x - ∫ | -1 | · | 1 | ·dx |
x + 1 | x + 1 | x |
I = - | ln x | + ∫ | 1 | ·dx |
x + 1 | x·(x + 1) |
Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:
I = - | ln x | + ∫[ | A·(x + 1) | + | B·x | ]·dx |
x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
I = - | ln x | + ∫ | A·x + A + B·x | ·dx |
x + 1 | x·(x + 1) |
I = - | ln x | + ∫ | (A + B)·x + A | ·dx |
x + 1 | x·(x + 1) |
De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto, B = -1.
Reemplazamos los valores hallados:
I = - | ln x | + ∫[ | 1·(x + 1) | + | -1·x | ]·dx |
x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
I = - | ln x | + ∫[ | x + 1 | - | x | ]·dx |
x + 1 | x·(x + 1) | x·(x + 1) |
Simplificamos:
I = - | ln x | + ∫( | 1 | - | 1 | )·dx |
x + 1 | x | x + 1 |
I = - | ln x | + ∫ | 1 | ·dx - ∫ | 1 | ·dx |
x + 1 | x | x + 1 |
Integramos:
I = - | ln x | + ln |x| - ln |x + 1| + C |
x + 1 |
l)
I = ∫eˣ·sen x·cos x·dx
Por las propiedades trigonométrica:
sen 2·x = 2·sen x·cos x
½·sen 2·x = sen x·cos x
Reemplazamos en la integral:
I = ½·∫eˣ·sen 2·x·dx
u = sen 2·x
dv = eˣ·dx
v = eˣ
du = 2·cos 2·x·dx
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ u·dv = u·v - ∫ v·du
I = ½·[eˣ·sen 2·x - ∫eˣ·2·cos 2·x·dx]
I = ½·eˣ·sen 2·x - ½·2·∫eˣ·cos 2·x·dx
Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:
u = cos 2·x
dv = eˣ·dx
v = eˣ
du = -2·sen 2·x·dx
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
I = ½·eˣ·sen 2·x - [eˣ·cos 2·x - ∫eˣ·(-2·sen 2·x)·dx]
I = ½·eˣ·sen 2·x - (eˣ·cos 2·x + 2·∫eˣ·sen 2·x·dx)
I = ½·eˣ·sen 2·x - eˣ·cos 2·x - 2·∫eˣ·sen 2·x·dx
El último término es igual a la integral inicial.
I = ½·∫eˣ·sen 2·x·dx = ½·eˣ·sen 2·x - eˣ·cos 2·x - 2·∫eˣ·sen 2·x·dx
Pasamos el término:
I = ½·∫eˣ·sen 2·x·dx + 2·∫eˣ·sen 2·x·dx = ½·eˣ·sen 2·x - eˣ·cos 2·x
Sumamos las fracciones:
I = | 1 + 4 | ·∫eˣ·sen 2·x·dx = | 1 | (eˣ·sen 2·x - 2·eˣ·cos 2·x)·dx |
2 | 2 |
I = | 5 | ·∫eˣ·sen 2·x·dx = | 1 | (eˣ·sen 2·x - 2·eˣ·cos 2·x)·dx |
2 | 2 |
Despejamos y simplificamos:
I = | 1 | ·∫eˣ·sen 2·x·dx = | 1 | (eˣ·sen 2·x - 2·eˣ·cos 2·x)·dx |
2 | 5·2 |
I = | eˣ | ·(sen 2·x - 2·cos 2·x) + C |
10 |
Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina
- Anterior |
- Regresar a la guía TP18
- | Siguiente
Ejemplo, cómo integrar funciones por partes