Problemas nº 1-k y 1-l de integración de funciones por partes - TP18

Enunciado del ejercicio nº 1-k y 1-l

Calcular las siguientes integrales por partes:

k) I = ∫	ln x	·dx
	(x + 1)²

l) I = ∫eˣ·sen x·cos x·dx

Solución

Fórmulas:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ∫	ln x	·dx
	(x + 1)²

I = ∫(x + 1)⁻²·ln x·dx

u = ln x

dv = (x + 1)⁻²·dx

v =	(x + 1)⁻² ⁺ ¹
	-2 + 1

v =	(x + 1)⁻¹
	-1

v =	-1
	x + 1

du =	1	·dx
	x

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I =	-1	·ln x - ∫	-1	·	1	·dx
	x + 1		x + 1		x

I = -	ln x	+ ∫	1	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

Aplicamos el método de integración por descomposición en fracciones simples:

I = -	ln x	+ ∫[	A·(x + 1)	+	B·x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫	A·x + A + B·x	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫	(A + B)·x + A	·dx
	x + 1		x·(x + 1)

De donde A + B = 0 y A = 1, por lo tanto, B = -1.

Reemplazamos los valores hallados:

I = -	ln x	+ ∫[	1·(x + 1)	+	-1·x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

I = -	ln x	+ ∫[	x + 1	-	x	]·dx
	x + 1		x·(x + 1)		x·(x + 1)

Simplificamos:

I = -	ln x	+ ∫(	1	-	1	)·dx
	x + 1		x		x + 1

I = -	ln x	+ ∫	1	·dx - ∫	1	·dx
	x + 1		x		x + 1

Integramos:

I = -	ln x	+ ln \|x\| - ln \|x + 1\| + C
	x + 1

I = ∫eˣ·sen x·cos x·dx

Por las propiedades trigonométrica:

sen 2·x = 2·sen x·cos x

½·sen 2·x = sen x·cos x

Reemplazamos en la integral:

I = ½·∫eˣ·sen 2·x·dx

u = sen 2·x

dv = eˣ·dx

v = eˣ

du = 2·cos 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

∫ u·dv = u·v - ∫ v·du

I = ½·[eˣ·sen 2·x - ∫eˣ·2·cos 2·x·dx]

I = ½·eˣ·sen 2·x - ½·2·∫eˣ·cos 2·x·dx

Para integrar el segundo término debemos aplicar nuevamente la fórmula de integración por partes:

u = cos 2·x

dv = eˣ·dx

v = eˣ

du = -2·sen 2·x·dx

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

I = ½·eˣ·sen 2·x - [eˣ·cos 2·x - ∫eˣ·(-2·sen 2·x)·dx]

I = ½·eˣ·sen 2·x - (eˣ·cos 2·x + 2·∫eˣ·sen 2·x·dx)

I = ½·eˣ·sen 2·x - eˣ·cos 2·x - 2·∫eˣ·sen 2·x·dx

El último término es igual a la integral inicial.

I = ½·∫eˣ·sen 2·x·dx = ½·eˣ·sen 2·x - eˣ·cos 2·x - 2·∫eˣ·sen 2·x·dx

Pasamos el término:

I = ½·∫eˣ·sen 2·x·dx + 2·∫eˣ·sen 2·x·dx = ½·eˣ·sen 2·x - eˣ·cos 2·x

Sumamos las fracciones:

I =	1 + 4	·∫eˣ·sen 2·x·dx =	1	(eˣ·sen 2·x - 2·eˣ·cos 2·x)·dx
	2		2

I =	5	·∫eˣ·sen 2·x·dx =	1	(eˣ·sen 2·x - 2·eˣ·cos 2·x)·dx
	2		2

Despejamos y simplificamos:

I =	1	·∫eˣ·sen 2·x·dx =	1	(eˣ·sen 2·x - 2·eˣ·cos 2·x)·dx
	2		5·2

I =	eˣ	·(sen 2·x - 2·cos 2·x) + C
	10

Resolvió: Ricardo Santiago Netto. Argentina

Ejemplo, cómo integrar funciones por partes