Guía nº 7 de ejercicios de integrales indefinidas de funciones racionales en una variable. Problemas con resultado.
Resolver las siguientes integrales de funciones racionales:
Problema nº 1
Raíces reales y simples.
a)
| Respuesta: I = ln | x³ | + k |
| (1 + x)·(1 - x)² |
b)
| I = ∫ | 4·x - 7 | ·dx |
| x² - 3·x + 2 |
• Respuesta: I = ln [(x - 1)³·(x - 2)] + k
c)
| I = ∫ | 4·x² - 16·x + 4 | ·dx |
| x³ - 3·x² + 2·x |
| Respuesta: I = ln | x²·(x - 1)⁸ | + k |
| (x - 2)⁶ |
d)
| I = ∫ | x² - 1 | ·dx |
| x² - 5·x + 6 |
| Respuesta: I = x + ln | (x - 3)⁸ | + k |
| (x - 2)³ |
e)
| I = ∫ | x - 1 | ·dx |
| x³ - x² - 2·x |
| Respuesta: I = | 1 | ·ln | x³·(x - 2) | + k |
| 6 | (x + 1)⁴ |
f)
| I = ∫ | x² + 3·x | ·dx |
| (x - 2)·(x² + 3·x + 2) |
| Respuesta: I = | 1 | ·ln | (x - 2)⁵·(x + 1)⁴ | + k |
| 6 | (x + 2)³ |
g)
| I = ∫ | x² - 3·x - 1 | ·dx |
| x³ + x² - 2·x |
| Respuesta: I = ln | √x·√(x + 2)³ | + k |
| x - 1 |
Problema nº 2
Raíces reales y múltiples.
a)
| Respuesta: I = - | 1 | - | 1 | + k |
| x - 1 | (x - 1)² |
b)
| I = ∫ | x² - x + 4 | ·dx |
| (x - 1)²·(x + 2) |
| Respuesta: I = - | 4 | + ln [(x - 2)⁶·(x - 1)⁵] + k |
| x - 1 |
c)
| I = ∫ | 2·x - 1 | ·dx |
| x³ + x² - 5·x + 3 |
| Respuesta: I = - | 1 | + | 7·ln (x - 1) | - | 7·ln (x - 3) | + k |
| 4·(x - 1) | 16 | 16 |
d)
| Respuesta: I = - | 3 | - | 3 | + ln ( | x + 1 | )⁶ + k |
| x | x + 1 | x |
e)
| I = ∫ | x | ·dx |
| (x - 5)²·(x + 1) |
| Respuesta: I = | ln (x - 5) | - | ln (x + 1) | - | 5 | + k |
| 36 | 36 | 6·(x - 5) |
f)
| I = ∫ | x⁴ - 9·x² + 2 | ·dx |
| x³ - 3·x² |
| Respuesta: I = ½·x² + 3·x + | 2 | - | 2·ln x | + | 2·ln (x - 3) | + k |
| 3·x | 9 | 9 |
Problema nº 3
Raíces complejas y simples.
a)
| Respuesta: I = ⅙·ln | x² - x + 1 | + | ∛3 | ·arc tg | 2·x - 1 | + k |
| (x + 1)² | 3 | ∛3 |
b)
| I = ∫ | x² | ·dx |
| (x - 1)²·(x² + 1) |
| Respuesta: I = - | 1 | + ¼·ln | (x - 1)² | + k |
| 2·(x - 1) | x² + 1 |
c)
| I = ∫ | x³ + 4·x - 1 | ·dx |
| x² + 4 |
• Respuesta: I = ½·x² - ½·arc tg ½·x + k
d)
• Respuesta: I = ¼·ln (x - 1) - ¼·ln (x + 1) - ½·arc tg x + k
e)
| I = ∫ | x⁵ + 5·x³ - x | ·dx |
| x² + 5 |
• Respuesta: I = ¼·x⁴ - ln √x² + 5 + k
• Fuente:
"Apunte nº 448 de análisis matemático y métodos numéricos I". UTN - FRA. 1984.
Autor: Ricardo Santiago Netto. Argentina