Cálculo del límite de funciones (I)
Cálculo del límite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo:
f(x) = a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
A. Límite de una función polinómica en el punto x₀ finito.
B. El límite de una función polinómica en un punto x₀ es igual al valor que toma la función en ese punto.
Límite de una función polinómica en el infinito
El límite de una función polinómica en el infinito es +∞ ó -∞, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:
| lim x ⟶ ∞ | a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ = + ∞; si aₙ es positivo. |
| lim x ⟶ ∞ | a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ = -∞; si aₙ es negativo. |
Ejemplos de cálculo de límites de funciones polinómicas
Ejemplo nº 1
Calcular:
| lim x ⟶ -1 | 4·x³ - 3·x - 2 |
Solución
| lim x ⟶ -1 | 4·x³ - 3·x - 2 = 4·(-1)³ - 3·(-1) - 2 |
| lim x ⟶ -1 | 4·x³ - 3·x - 2 = -4 + 3 - 2 |
| lim x ⟶ -1 | 4·x³ - 3·x - 2 = -3 |
Ejemplo nº 2
| lim x ⟶ ∞ | 3 + x² - 4·x⁵ |
y
| lim x ⟶ ∞ | 8·x³/3 + 5·x/2 - 6 |
Solución
| lim x ⟶ ∞ | 3 + x² - 4·x⁵ = -∞ |
El coeficiente del término de mayor grado es -4.
| lim x ⟶ ∞ | 8·x³/3 + 5·x/2 - 6 = + ∞ |
El coeficiente del término de mayor grado, 8/3, es positivo.
Cálculo de límites de funciones racionales
Una función racional es una función del tipo f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:
A. Límite de una función racional en el punto x₀ finito
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para el cálculo del límite de un cociente de dos funciones:
| lim x ⟶ x₀ | P(x)/Q(x) = | lim x ⟶ x₀ | P(x) |
| lim x ⟶ x₀ | Q(x) |
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.
Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.
A.1. El límite del denominador es distinto de cero:
| lim x ⟶ x₀ | Q(x) ≠ 0 |
Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se halla su cociente.
A.2. El límite del denominador es cero:
| lim x ⟶ x₀ | Q(x) = 0 |
Si el denominador se anula en x₀, puede ocurrir que el numerador también se anule en x₀, o que el numerador no se anule en x₀
A.2.1. El límite del numerador también es cero:
| lim x ⟶ x₀ | Q(x) = 0 |
y
| lim x ⟶ x₀ | P(x) = 0 |
En este caso se obtiene el resultado 0/0, que es una indeterminación.
Para resolver esto basta con tener en cuenta que si Q(x₀) = 0 y P(x₀) = 0, x₀ es raíz de los polinomios P(x) y Q(x), y por tanto el cociente P(x)/Q(x) se puede simplificar.
Una vez hecha la simplificación, bien dividiendo P(x) y Q(x) entre x - x₀ ó bien aplicando la regla de Ruffini, se vuelven a calcular los límites de los polinomios ya simplificados.
A.2.2. El límite del numerador no es cero.
El límite del cociente da como resultado la indeterminación:
| lim x ⟶ x₀ | P(x)/0 |
Para resolver esta indeterminación es necesario estudiar los límites laterales de la función f(x) = P(x)/Q(x), en el punto x₀
Si ambos límites laterales son iguales, la función tiene por límite su valor. Si no son iguales, la función no tiene límite.
Ejemplos de cálculo de límites de funciones racionales (x ⟶ x₀)
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función f(x) = (2·x³ - 1)/(3·x² + 4), cuando x ⟶ 1
Solución
| lim x ⟶ 1 | 2·x³ - 1 | = | lim x ⟶ 1 | 2·x³ - 1 | = ⅐ |
| 3·x² + 4 | lim x ⟶ 1 | 3·x² + 4 |
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2·x² - 6·x + 12)/(x² + 3·x - 10), cuando x ⟶ 2
Solución
| lim x ⟶ 2 | x³ - 2·x² - 6·x + 12 | = | lim x ⟶ 2 | x³ - 2·x² - 6·x + 12 | = |
| x² + 3·x - 10 | lim x ⟶ 2 | x² + 3·x - 10 |
= (2³ - 2·2² - 6·2 + 12)/(2² + 3·2 - 10) = 0/0
Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios P(x) = x³ - 2·x² - 6·x + 12 y
Q(x) = x² + 3·x -10.
Descomposición factorial de P(x):
| 1 | -2 | -6 | 12 | |
| 2 | 2 | 0 | -12 | |
| 1 | 0 | -6 | 0 |
P(x) = x³ - 2·x² - 6·x + 12 = (x - 2)·(x² - 6)
Descomposición factorial de Q(x):
| 1 | 3 | -10 | |
| 2 | 2 | 10 | |
| 1 | 5 | 0 |
P(x) = x² + 3·x - 10 = (x - 2)·(x + 5)
El límite del cociente P(x)/Q(x) es:
| lim x ⟶ 2 | x³ - 2·x² - 6·x + 12 | = | lim x ⟶ 2 | (x - 2)·(x² - 6) | = |
| x² + 3·x - 10 | lim x ⟶ 2 | (x - 2)·(x + 5) |
| = | lim x ⟶ 2 | x² - 6 | = -2/7 |
| lim x ⟶ 2 | x + 5 |
Ejemplo nº 3
Calcular el límite de la función f(x) = (3·x² - 4·x)/x, cuando x ⟶ 0
Solución
| lim x ⟶ 0 | 3·x² - 4·x | = | lim x ⟶ 0 | 3·x² - 4·x | = 0/0, indeterminación. |
| x | lim x ⟶ 0 | x |
Se simplifican numerador y denominador:
| lim x ⟶ 0 | 3·x² - 4·x | = | lim x ⟶ 0 | x·(3·x - 4) | = | lim x ⟶ 0 | 3·x - 4 = -4 |
| x | x |
Ejemplo nº 4
Calcular:
| lim x ⟶ 3 | 1 |
| (x - 3)² |
Solución
| lim x ⟶ 3 | 1 | = | 1 | = 1/0, indeterminación. | |
| (x - 3)² | lim x ⟶ 3 | (x - 3)² | |||
Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x₀ = 3.
| lim x ⟶ 3⁺ | 1 | = | lim x ⟶ 3⁺ | 1 | = 1/0 +∞ |
| (x - 3)² | lim x ⟶ 3⁺ | (x - 3)² |
| lim x ⟶ 3⁻ | 1 | = | lim x ⟶ 3⁻ | 1 | = 1/0 +∞ |
| (x - 3)² | lim x ⟶ 3⁻ | (x - 3)² |
Como los límites laterales coinciden,
| lim x ⟶ 3 | 1 | = + ∞ |
| (x - 3)² |
Ejemplo nº 5
Calcular el límite de la función f(x) = 1/(x - 1), cuando x ⟶ 1.
Solución
| lim x ⟶ 1 | 1 | = | lim x ⟶ 1 | 1 | = 1/0, indeterminación. |
| x - 1 | lim x ⟶ 1 | x - 1 |
Se estudian los límites laterales:
| lim x ⟶ 1⁺ | 1 | = | lim x ⟶ 1⁺ | 1 | = 1/0 +∞ |
| x - 1 | lim x ⟶ 1⁺ | x - 1 |
| lim x ⟶ 1⁻ | 1 | = | lim x ⟶ 1⁻ | 1 | = 1/0 -∞ |
| x - 1 | lim x ⟶ 1⁻ | x - 1 |
Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).