Cálculo de límites de funciones (II)
Límite de una función racional en el infinito
Las reglas de cálculo de límites de funciones cuando x ⟶ ±∞, son las mismas que las empleadas para límites de sucesiones.
El límite de una función racional cuando x ⟶ ±∞, es igual al límite del cociente de los términos de mayor grado del numerador y denominador.
Si:
P(x) = a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ
Q(x) = b₀ + b₁·x + b₂·x² + … + bₙ·xⁿ
| lim x ⟶ ∞ | P(x) | = |
| Q(x) |
| lim x ⟶ ∞ | a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ | = |
| b₀ + b₁·x + b₂·x² + … + bₘ·xᵐ |
| lim x ⟶ ∞ | aₙ·xⁿ |
| bₙ·xⁿ |
El valor de este límite depende del valor que tengan n y m:
- Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (n > m), el límite es ± ∞, dependiendo de que los signos de los cocientes aₙ y bₘ sean iguales o distintos
- Si el grado del numerador es igual que el grado del denominador (n = m), el límite es el cociente aₙ/bₘ
- Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador (n < m), el límite es 0
Ejemplos de cálculo de límites de funciones racionales (x ⟶ ∞)
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función f(x) = (3·x² - 2·x - 5)/(x - 4), cuando x ⟶ ∞
Solución
En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞.
| lim x ⟶ ∞ | 3·x² - 2·x - 5 | = |
| x - 4 |
| lim x ⟶ ∞ | 3·x² | = |
| x |
| lim x ⟶ ∞ | 3·x | = +∞ |
| 1 |
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x² - 4), cuando x ⟶ ∞
Solución
El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto:
| lim x ⟶ ∞ | x³ - 5 | = |
| -x² - 4 |
| lim x ⟶ ∞ | x³ | = |
| -x² |
| lim x ⟶ ∞ | x | = -∞ |
| -1 |
Ejemplo nº 3
Calcular:
| lim x ⟶ ∞ | -3·x² - 2·x + 5 |
| 4·x² - 4 |
Solución
El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto:
| lim x ⟶ ∞ | -3·x² - 2·x + 5 | = |
| 4·x² - 4 |
| lim x ⟶ ∞ | -3·x² | = -¾ |
| 4·x² |
Ejemplo nº 4
Calcular:
| lim x ⟶ ∞ | x² - x + 1 |
| x³ - 4·x + 3 |
Solución
El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto:
| lim x ⟶ ∞ | x² - x + 1 | = |
| x³ - 4·x + 3 |
| lim x ⟶ ∞ | x² | = |
| x³ |
| lim x ⟶ ∞ | 1 | = 0 |
| x |
Cálculo de límites de funciones irracionales
Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz.
Son funciones irracionales las siguientes:
f(x) = √x - 3
g(x) = 3·x - √x² + 5
| h(x) = | √x - 1 |
| √x + 1 |
| k(x) = | x |
| √x |
El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.
A. Cálculo del límite de una función irracional en un punto x₀ finito
Estos límites se resuelven, en general, como si de una función racional se tratara.
En el caso de que, calculando el límite aparezca una indeterminación, ésta suele resolverse multiplicando y dividiendo por el conjugado del numerador o del denominador.
Ejemplos de cálculo de límites de funciones irracionales (x ⟶ x₀)
Ejemplo nº 1
Calcular:
| lim x ⟶ 2 | √x - 2 |
Solución
| lim x ⟶ 2 | √x - 2 = √2 - 2 = 0 |
Ejemplo nº 2
Calcular:
| lim x ⟶ 1 | √x - 1 |
| x - 1 |
Solución
| lim x ⟶ 1 | √x - 1 | = | √1 - 1 | = 0/0, indeterminación. |
| x - 1 | 1 - 1 |
Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado del numerador, √x + 1:
| lim x ⟶ 1 | √x - 1 | = | lim x ⟶ 1 | (√x - 1)·(√x + 1) | = |
| x - 1 | (x - 1)·(√x + 1) |
| = | lim x ⟶ 1 | x - 1 | = | lim x ⟶ 1 | 1 | = |
| (x - 1)·(√x + 1) | √x + 1 |
| = | 1 | = ½ |
| √1 + 1 |
Ejemplo nº 3
Resolver el siguiente límite:
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 |
| x - 5 |
Solución
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | √5 - √5 | = |
| x - 5 | 5 - 5 |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = 0/0, indeterminación. |
| x - 5 |
Para resolver la indeterminación se multiplica y se divide por √5 + √5
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | lim x ⟶ 5 | (√x - √5)·(√x + √5) | = |
| x - 5 | (x - 5)·(√x + √5) |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | lim x ⟶ 5 | x - 5 | = |
| x - 5 | (x - 5)·(√x + √5) |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | lim x ⟶ 5 | 1 | = |
| x - 5 | √x + √5 |
| lim x ⟶ 5 | √x - √5 | = | 1 | = ½·√5 |
| x - 5 | √5 + √5 |
Cálculo del límite de una función irracional en el infinito
B.1. Límites indeterminado de la forma ∞/∞
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación ∞/∞, ésta se resuelve aplicando la regla dada para la misma situación en funciones racionales.
Ejemplos de cálculo de límites indeterminados de la forma ∞/∞
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función f(x) = (4·x³ - 2)/(√x - 3), cuando x ⟶ ∞
Solución
| lim x ⟶ ∞ | 4·x³ - 2 | = | ∞ | , indeterminación. |
| √x - 3 | ∞ |
Haciendo uso de la regla mencionada, resulta:
∘ Grado del numerador = 3
∘ Grado del denominador = ½, (puesto que √x = x½)
Por lo tanto,
| lim x ⟶ ∞ | 4·x³ - 2 | = ∞ |
| √x - 3 |
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función:
| f(x) = | 5·x - 3 | , cuando x ⟶ ∞ |
| √4·x² + 3·x - 1 |
Solución
Calculando el límite del numerador y del denominador se obtiene:
| lim x ⟶ ∞ | 5·x - 3 | = | ∞ | , indeterminación. |
| √4·x² + 3·x - 1 | ∞ |
Estudiando los grados:
∘ Grado del numerador = 1
∘ Grado del denominador = 1 (puesto que √x² = x)
Por lo tanto, el límite es:
| lim x ⟶ ∞ | 5·x - 3 | = | 5 | = | 5 |
| √4·x² + 3·x - 1 | √4 | 2 |
3) Calcular:
| lim x ⟶ ∞ | √x⁵ + 2·x - 6 |
| x³ - 4·x + 2 |
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x⁵ + 2·x - 6 | = | ∞ | , indeterminación. |
| x³ - 4·x + 2 | ∞ |
| Grado del numerador: 5/2 Grado del denominador: 3 | 5/2 < 3 |
Por lo tanto, el límite es:
| lim x ⟶ ∞ | √x⁵ + 2·x - 6 | = 0 |
| x³ - 4·x + 2 |
B.2. Límites indeterminado de la forma ∞ - ∞
Cuando al calcular el límite de una función irracional resulta la indeterminación
∞ - ∞ ésta se resuelve generalmente multiplicando y dividiendo la función por su conjugada.
Ejemplos de cálculo de límites indeterminados de la forma ∞ - ∞
Ejemplo nº 1
Calcular el límite de la función y = √x² + 3 - x, cuando x ⟶ ∞.
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x² + 3 - x = ∞ - ∞, indeterminación. |
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, √x² + 3 + x
| lim x ⟶ ∞ | (√x² + 3·x - x)·(√x² + 3·x + x) | = |
| √x² + 3·x + x |
| lim x ⟶ ∞ | x² + 3·x - x² | = | 3 | = | 3 |
| √x² + 3·x + x | √1 - 1 | 2 |
Ejemplo nº 2
Calcular el límite de la función y = √x - 3 - √x + 3, cuando x ⟶ ∞.
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x - 3 - √x + 3 = ∞ - ∞, indeterminación. |
Se multiplica y se divide la función por su conjugada,
√x - 3 + √x + 3
| lim x ⟶ ∞ | (√x - 3 - √x + 3)·(√x - 3 + √x + 3) | = |
| √x - 3 + √x + 3 |
| lim x ⟶ ∞ | (x - 3) - (x + 3) | = |
| √x - 3 + √x + 3 |
| lim x ⟶ ∞ | -6 | = 0 |
| √x - 3 + √x + 3 |
Ejemplo nº 3
Calcular el límite de la función f(x) = √x + 1 - x, cuando x ⟶ ∞.
Solución
| lim x ⟶ ∞ | √x + 1 - x = ∞ - ∞, indeterminación. |
Se multiplica y se divide la función por su conjugada, √x + 1 + x
| lim x ⟶ ∞ | (√x + 1 - x)·(√x + 1 + x) | = |
| √x + 1 + x |
| lim x ⟶ ∞ | x + 1 - x² | = -∞ |
| √x + 1 + x |
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Qué es una indeterminación en límites?