Continuidad de funciones
Función contínua
Una función f es contínua en un punto x₀ cuando existe el límite de la función en x₀ y coincide con el valor que toma la función en x₀
| f es contínua en x₀ ⇔ | lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
Para que una función sea contínua en x₀, se tienen que cumplir tres condiciones:
1) Existir el límite de la función cuando x ⟶ x₀
2) Estar definida la función en x₀, es decir, existir f(x₀)
3) Los dos valores anteriores han de coincidir:
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x₀
Se dice que una función es contínua en un intervalo cuando es contínua en todos los puntos del intervalo.
Ejemplos de estudio de la discontinuidad de una función
Ejemplo nº 1
Probar que la función definida por:
| f(x) = | 2, si x ≤ 3 -1, si x > 3 |
Es discontínua en el punto x₀ = 3.
Solución
Para probar la discontinuidad de la función en x₀ = 3 hay que ver cuál de la tres condiciones de continuidad no se cumple.
En este caso es la primera, ya que no existe el límite de la función cuando x tiende a 3; los límites laterales no coinciden:
| lim x ⟶ 3⁺ | f(x) = -1 |
| lim x ⟶ 3⁻ | f(x) = 2 |
Por lo tanto, la función es discontínua en x₀ = 3.
Ejemplo nº 2
Probar que la función definida por:
| f(x) = | 1, si x < 3 x - 2, si x > 3 |
Es discontínua en el punto x₀ = 3.
Solución
En este caso existe el límite de la función cuando x tiende a 3, y es 1; los dos límites laterales coinciden:
| lim x ⟶ 3⁻ | f(x) = | lim x ⟶ 3⁻ | 1 = 1 |
| lim x ⟶ 3⁺ | f(x) = | lim x ⟶ 3⁺ | (x - 2) = 3 - 2 = 1 |
Sin embargo, la función no está definida en x₀ = 3; no existe f(3).
Por tanto, la función es discontínua en x₀ = 3.
Ejemplo nº 3
¿Es la siguiente función discontínua en el punto x₀ = 2?
| f(x) = | x² - 1, si x ≠ 2 5, si x = 2 |
Solución
Existe el límite de la función cuando x tiende a 2, ya que los dos límites laterales coinciden:
| lim x ⟶ 2⁺ | f(x) = 2² - 1 = 3 |
| lim x ⟶ 2⁻ | f(x) = 2² - 1 = 3 |
- La función está definida para x = 2 y vale 5: f(2) = 5
- Sin embargo, el valor del límite de la función cuando x ⟶ 2 no coincide con f(2):
| lim x ⟶ 2 | f(x) = 3 ≠ f(2) = 5 |
Por tanto, la función es discontínua en x₀ = 2.
Operaciones con funciones continuas
Suma
La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función contínua en ese punto.
• Demostración:
Sean f y g dos funciones continuas en un punto x₀. Esto significa que:
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) y | lim x ⟶ x₀ | g(x) = g(x₀) |
Para probar que la función suma f + g es una función contínua en x₀, es necesario demostrar que:
| lim x ⟶ x₀ | (f + g)(x) = (f + g)(x₀) |
Aplicando una de las propiedades de los límites de funciones,
| lim x ⟶ x₀ | (f + g)(x) = | lim x ⟶ x₀ | f(x) + | lim x ⟶ x₀ | g(x) = |
| lim x ⟶ x₀ | (f + g)(x) = f(x₀) + g(x₀) = (f + g)(x₀) |
La demostración es válida para una suma de n funciones continuas en x₀
Resta
La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función contínua en ese punto.
Esta demostración, como las que siguen, se hacen de forma similar a la anterior, basándose en las propiedades de los límites de funciones.
Producto
El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función contínua en ese punto.
Producto de una función por un número
El producto de una función contínua en un punto, por un número real, es otra función contínua en ese punto.
Cociente
El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función contínua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule).
Composición de funciones
Si f es una función contínua en x₀ y g es otra función contínua en f(x₀), la función compuesta g o f es contínua en el punto x₀
Propiedades de las funciones continuas
Si una función es contínua en un punto x₀, entonces es convergente en x₀, es decir, existe el límite de la función cuando x tiende a x₀
| Si f(x) es contínua en x₀ ⇔ | lim x ⟶ x₀ | = f(x₀) |
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
¿Cómo saber si una función es continua o discontinua?