Continuidad de funciones elementales
Función constante
La función constante f(x) = k es contínua en todos los puntos.
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = k | lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
| f(x₀) = k | |||
Función identidad
La función identidad f(x) = x es contínua en todos los puntos.
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = x₀ | lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
| f(x₀) = x₀ | |||
Función potencial
La función potencial f(x) = xⁿ es contínua en todos sus puntos, salvo el caso en que n < 0 y x = 0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = x₀ⁿ | lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
| f(x₀) = x₀ⁿ | |||
Función polinómica
La función f(x) = a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + aₙ·xⁿ es una función contínua en todos los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + a₀·xⁿ |
f(x₀) = a₀ + a₁·x + a₂·x² + … + a₀·xⁿ
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
Función racional
La función f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son funciones polinómicas, es contínua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial
La función exponencial f(x) = aˣ, con a > 0, es contínua en todos los puntos.
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = ax0 | lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
| f(x₀) = ax0 | |||
Función logarítmica
La función f(x) = logₐ x, siendo a > 1, es contínua en todos los puntos de su campo de existencia (0, +∞).
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = logₐ x₀ | lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
| f(x₀) = logₐ x₀ | |||
Ejemplos de estudio de los puntos de continuidad
Ejemplo nº 1
Indicar en qué puntos la función f(x) = (2·x² - 3)/(x - 3) es discontinua.
Solución
La función es contínua en todos los puntos salvo en los que se anula el denominador, ya que en éstos la función no estará definida; es decir, en x = 3.
La función es contínua en todos los puntos salvo en x = 3, en el que es discontinua.
Ejemplo nº 2
Realizar un estudio e indicar si la función f(x) = (x - 5)/(x² - 3·x - 10) es contínua en los intervalos (-3, 0) y (0, 2).
Solución
- La función es contínua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula. El denominador se anula en x = -2 y en x = 5
- El punto x = -2 está en el intervalo (-3, 0), luego en éste la función no es contínua
- - 2 ∉ (0, 2) y 5 ∉ (0, 2); luego en este intervalo la función f(x) sí es contínua
Clasificación de puntos de discontinuidad
Para que una función f(x) sea discontínua (o no contínua) en un punto x₀ deberá darse una, al menos, de estas condiciones:
a)
| No existe | lim x ⟶ x₀⁻ | f(x) |
| o no existe | lim x ⟶ x₀⁺ | f(x) |
b) Los límites laterales existen, pero:
| lim x ⟶ x₀⁻ | f(x) ≠ | lim x ⟶ x₀⁺ | f(x) |
c) Existe
| lim x ⟶ x₀ | f(x), pero | lim x ⟶ x₀ | f(x) ≠ f(x₀) |
Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es contínua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable)
Discontinuidad evitable
Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x₀ cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c):
| x₀ es un punto de discontinuidad evitable ⇔ | lim x ⟶ x₀ | f(x) ≠ f(x₀) |
La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x₀, el valor de su límite.
En este caso a:
| lim x ⟶ x₀ | f(x) = f(x₀) |
se le denomina verdadero valor de la función en x₀, y es el que hace la que la función sea contínua en ese punto.
Discontinuidad inevitable
Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x₀ cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.
| x₀ es un punto de discontinuidad inevitable ⇔ | No existe | lim x ⟶ x₀⁻ | f(x) |
| O no existe | lim x ⟶ x₀⁺ | f(x) | |
| O no existe | lim x ⟶ x₀ | f(x) |
Ejemplos de estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función
Ejemplo nº 1
Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función
| f(x) = | x + 2, si x ≠ 1 1, si x = 1 |
Solución
- La función x + 2 es contínua en todos los puntos
- La función f(x) es contínua en todos los puntos salvo en x = 1; ya que f(1) = 1
| lim x ⟶ 1⁻ | f(x) = | lim x ⟶ 1⁻ | x + 2 = 3 |
| lim x ⟶ 1⁺ | f(x) = | lim x ⟶ 1⁺ | x + 2 = 3 |
| lim x ⟶ 1 | f(x) ≠ f(1) |
| Si se asigna a f(1) el valor 3, valor de | lim x ⟶ 1 | f(x) |
Se evita la discontinuidad y entonces f(x) = x + 2 es contínua en todos los puntos.
El verdadero valor de la función en x = 1 es 3.
Ejemplo nº 2
Estudiar la discontinuidad (evitable o no) de la función:
| f(x) = | 2, si x < 3 1, si x ≥ 3 |
Solución
f(x) es contínua en todos los puntos salvo en x = 3.
| lim x ⟶ 3⁻ | f(x) = | lim x ⟶ 3⁻ | 2 = 2 |
| lim x ⟶ 3⁺ | f(x) = | lim x ⟶ 3⁺ | 1 = 1 |
| lim x ⟶ 3⁻ | f(x) ≠ | lim x ⟶ 3⁺ | f(x) |
La discontinuidad es inevitable.
Ejemplo nº 3
Estudiar y clasificar los puntos de discontinuidad de la función:
| f(x) = | x² - 4 |
| x - 2 |
Solución
- La función es contínua en todos los puntos salvo en los que se anule el denominador: x = 2
- Se procede a ver si la discontinuidad en x₀ = 2 es evitable o no:
| lim x ⟶ 2 | x² - 4 | = | lim x ⟶ 2 | (x - 2)·(x + 2) |
| x - 2 | x - 2 |
| lim x ⟶ 2 | x² - 4 | = | lim x ⟶ 2 | x + 2 = 4 |
| x - 2 |
El límite existe y es 4, por lo tanto, la discontinuidad en x₀ = 2 es evitable. El verdadero valor de la función en x₀ = 2 es 4.
Asignando a f(2) el valor 4, la función
| f(x) = | (x² - 4)/(x - 2), si x ≠ 2 4, si x = 2 |
Es contínua en todos los puntos.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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