Tipos de discontinuidades

Para empezar, si f:A ⊂ ℜ ⟶ ℜ no es contínua en a ∈ A, entonces a es punto de acumulación de A.

Al no ser contínua f en a, puede ocurrir:

1) Que exista lim x ⟶ a f(x) pero que sea distinto que f(a), se dice entonces que f tiene una discontinuidad evitable en a.

Ejemplo de discontinuidades evitables

lim x ⟶ 0 f(x) = 0 ≠ f(0)

2) Que no exista lim x ⟶ a f(x) pero que existan lim x ⟶ a⁻ f(x), lim x ⟶ a⁺ f(x) pero que sean distintos. Se dice, entonces, que f tiene una discontinuidad de salto finito.

Ejemplo de discontinuidades de salto finito

lim x ⟶ 0⁻ f(x) = -1

lim x ⟶ 0⁺ f(x) = 1

En ese ejemplo lim x ⟶ 0⁻ f(x) = f(0)

Se dice que es contínua en 0 por la izquierda.

3) Discontinuidad de salto infinito cuando alguno de los límites laterales es infinito (+4, -4). Evitable infinito cuando lim x ⟶ a⁺ f(x) = +4

Ejemplo de discontinuidades de salto infinito

4) No existe alguno de lo límites laterales. Discontinuidad esencial o de 2ª especie.

Ejemplo de discontinuidad esencial

Otra forma de decir que una función es contínua es esta:

∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / f⁻¹(]f(a) - ε, f(a) + ε [) ⊂ ]a - δ, a + δ [

Teniendo en cuenta que este particular espacio topológico (ℜ con su topología natural), un conjunto U ⊂ ℜ es entorno de un punto p ∈ ℜ, si sólo si (por definición) U contiene contiene algún intervalo centrado en p, podemos decir que f:A ⊂ ℜ ⟶ ℜ es contínua en a ∈ A cuando:

∀ V ∈ V°(f(a)), f⁻¹(V) ∈ V°(a) donde V°(A) son entornos de a con la topología relativa de A, es decir, con conjuntos que son intersección con A de lo entornos (con la topología de ℜ).

Teorema:

Si f:A ⊂ ℜ ⟶ ℜ es contínua y A es compacto entonces f(A) también es compacto.

• Demostración:

Por hipótesis de todo recubrimiento abierto de A se puede extraer un subrecubrimiento finito (A es compacto).

Sea {Gᵢ / i ∈ I} un recubrimiento abierto de f(A). Por ser f contínua cada f⁻¹(Gᵢ) es un abierto de A, luego {f⁻¹(Gᵢ)/ i ∈ I} es un recubrimiento abierto de A. Como A es compacto ∃ i₁ … iₙ en I / {f⁻¹(Gᵢ₁) … f⁻¹(Gᵢₙ)} es un recubrimiento de A ⇒ {Gᵢ₁ …Gᵢₙ} es un recubrimiento de f(A).

Corolario:

Si A es compacto y f:A ⊂ ℜ ⟶ ℜ es contínua, entonces f alcanza un mínimo y un máximo, es decir, ∃ a, b ∈ A / f(a) = min. {f(x)/ x ∈ A}, f(b) = máx. {f(x)/ x ∈ A}

• Demostración:

Como f(A) es compacto, acotado y cerrado, existe m = inf. f(A), n = sup. f(A). Como f(A) es cerrado el inf y el sup. de él pertenecen a él.

Ejemplo:

f:x ∈]0, +4[⟶ 1/x

Es contínua pero no alcanza ni el máximo ni el mínimo.

Sup. f(]0,+4[) = "+4"

Inf. F(]0, +4[) = 0

f:x ∈]0, 1[⟶ x

inf. f(]0, 1[) = 0 ó a, b ∈]0, 1[/ f(a) = 0, f(b) = 1

Sup f(]0, 1[) = 1 ó a, b ∈]0, 1[/ f(a) = min. f(A), f(b) = máx. f(A)

Sabemos por el teorema anterior que si f:A ⊂ ℜ ⟶ ℜ es contínua, entonces si A es compacto implica que f(A) es compacto.

Sin embargo:

1) A abierto no ⇒ f(A) abierto

Ejemplo:

f:x ∈]-1, 1[⟶ x²

f(]-1, 1[) = [0, 1[

2) A cerrado no ⇒ f(A) cerrado

Ejemplo:

f:x ∈ [1, +4[⟶ 1/x

f([1, +4[) =]0, 1]

3) A acotado no ⇒ f(A) acotado

f es secuencialmente contínua: ⇔ [(xₙ) ⟶ a ⇒ f(x) ⟶ f(a)]

Acabamos de ver que en ℜ:

f secuencialmente contínua ⇔ f contínua.

Un intervalo en sentido amplio en ℜ es un conjunto I tal que x, y ∈ I, x < z < y ⇒ z ∈ I (un conjunto tal que, si contiene a dos puntos, también contiene a todo los intermedios).

Es evidente que I es un intervalo en sentido amplio si y sólo si es de la forma:Ø, {a}, [a, b], [a, b[,]a, b],]a, b[, con a < b,]-4, a],]-4, a[,]a, +4[, [a, +4[,]-4,+4[.

Teorema (del valor medio para funciones continuas)

Si f:[a, b] ⊂ ℜ ⟶ ℜ es contínua y tal que f(a)·f(b) < 0 entonces existe c ∈ ]a, b[ tal que f(c) = 0

• Demostración:

Supongamos que f(a) < 0 < f(b). Consideremos el conjunto M = {x ∈ [a, b] / f(x) < 0}, M es no vacío, a ∈ M y acotado superiormente, b es cota superior de M. Por tanto, tiene supremo. Sea c = sup M. Vamos a ver a < c < b y f(c) = 0. Para ello veremos cuatro casos, en cada uno de ellos el argumento es el mismo:

1) a < c

2) c < b (ejercicio)

3) f(c) no < 0

4) f(c) no > 0 (ejercicio)

1.- Por ser f contínua en c y tal que f(a) < 0, dado -f(a) > 0, ∃ δ > 0 / x ∈ [a, b], |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < -f(a). Luego f(x) = 0

Como [a, a + δ] ⊂ M ⇒ c ≥ a + δ ⇒ c > a

3.- Supongamos que f(c) < 0, por ser f contínua en c (ya se sabe que c ∈ [a, b]), dado -f(c) > 0, ∃ δ > 0 / x ∈ [a, b], |x - c| < δ ⇒ |f(a) - f(c)| < -f(c) ⇒ f(x) < 0

Como a < c < b, eso significa que hay puntos en M a la derecha de c, luego c no es cota superior de M. Contradicción.

Corolario:

Si I es un intervalo (en sentido amplio) y f:I ⟶ ℜ es continuo, entonces f(I) también es un intervalo (en sentido amplio).

En otras palabras, f alcanza todo valor comprendido entre dos que alcanza. Es decir, si x, y ∈ I, x < y, f(x) < η < f(y), (lo mismo si f(y) < η < f(x)), entonces existe ξ, δ entre x, y tal que f(ξδ) = η

En efecto, basta considerar la función contínua g:t ∈ [x, y] ⟶ g(t) = f(t) - η

Ejemplo de función no contínua que también lleva intervalos en intervalos

Damos por sabido que la función x ∈ ℜ ⟶ sen x es contínua y, por tanto, también lo es su composición con la x ∈ ℜ / {0} ⟶ 1/x. Es decir, f es contínua en ℜ - {0}. Sin embargo, no es contínua en 0. Basta tener en cuenta que ∀ δ > 0, ∀ z ∈ [-1, 1], ∃ x ∈] -δ, δ [/ f(x) = z

lim x ⟶ 0 sup f(x) = 1; lim x ⟶ 0 inf f(x) = -1

Esta f transforma intervalos en intervalos.

Si 0 ∉ I, f contínua.

Si 0 ∈ I, f(0) = 0, 0 ∈ f(I) ⊂ [-1, 1].

Ejemplo:

Ver que si f:ℜ ⟶ ℜ tiene alguna discontinuidad de salto, entonces no lleva intervalos en intervalos.

Teorema (Weierstrass):

Si A ⊂ ℜ es compacto y f:A ⊂ ℜ ⟶ ℜ es contínua entonces es uniformemente contínua.

Toda función contínua en un compacto es uniformemente contínua.

La definiciones implicadas son:

f es contínua en A ⇔ ∀ x ∈ A, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε

f es uniformemente contínua en A ⇔ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / x, y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε.

Un ejemplo de contínua no uniformemente contínua es la f:x ∈ ℜ / {0} ⟶ 1/x ó f:x ∈ ℜ ⟶ x² ó f:x ∈]0, 1[⟶ 1/x (Nótese que ℜ/{0}, ℜ,]0, 1[no son compactos).

• Demostración:

Que f es contínua en A significa que:

∀ x ∈ A, ∀ ε > 0, ∃ δₓ / y ∈ A, |x - y| < δₓ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/2

Naturalmente,{]x - δₓ/2, x + δₓ/2[/ x ∈ A} es un recubrimiento abierto de A ("cada punto de a con su paraguas"). Como A es compacto, basta con finitos de ellos, es decir, existen x₁, ………, xₙ ∈ A tales que {]x₁ - δₓ/2, x₁ + δₓ/2[……]xₙ - δₓ/2, xₙ + δₓ/2[} recubren a A.

Sea δ = min {δₓ₁/2, ………, δₓ₂/2} > 0

Entonces, si x, y ∈ A, |x - y| < δ, existe k ∈ {1, …, n} tal que x ∈]xₖ - δₓₖ/2, x + δₓₖ/2[y tenemos que |y - xₖ| ≤ |y - x + x - xₖ| < δ + δₓₖ/2 ≤ δₓₖ

Por tanto, x, y ∈ A, |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| ≤ |f(x) - f(xₖ)| + |f(xₖ) - f(y)| < ε/2 + ε/2 = ε

Autor: Daniel Fernández. España.

Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).

¿Qué es una función discontinua?