Funciones: sucesiones y series
1. Conjunto acotado
"Diremos que A está acotado en ℜ si existen dos números reales K K2 tales que a sea mayor o igual que K2 y a sea menor o igual que K para todo a perteneciente a A"
2. Conjunto acotado en valor absoluto
"Diremos que A subconjunto de ℜ esta acotada en valor absoluto si existe K mayor que 0 tal que /a/ sea menor o igual que K para todo a perteneciente a A"
3. Axioma del extremo superior
"Si A es un subconjunto de ℜ y está acotado superiormente entonces posee supremo"
4. Axioma del extremo inferior
"Si A es un subconjunto de ℜ y está acotado inferiormente entonces posee ínfimo"
5. Sucesión de números reales
"Se llama sucesión de números reales a toda aplicación de N* en R"
6. Sucesión constante
"Una sucesión es constante si todos sus términos son iguales se denota (r) y se escribe (r) = (r, r, r, …, r, …)"
7. Determinación de sucesiones
Una sucesión queda determinada cuando podemos calcular cualquier termino de la sucesión, con el termino general.
8. Operaciones con sucesiones
Suma con sucesiones:
Asociativa: Para todo (Aₙ) (Bₙ) (Cₙ) pertenecientes a S se tiene que [(Aₙ) + (Bₙ)] + (Cₙ) = (Aₙ) + [(Bₙ) + (Cₙ)]
Conmutativa: Para todo (Aₙ) (Bₙ) pertenecientes a S se tiene que (Aₙ) + (Bₙ) = (Bₙ) + (Aₙ)
Elemento neutro: (0) = (0, 0, 0, …, 0, …)
Todo elemento de S tiene simétrico que se llama opuesto
Resta de sucesiones:
Es una consecuencia de que toda sucesión tiene opuesta:
(Aₙ) - (Bₙ) = (Aₙ) + (-Bₙ)
Producto de sucesiones:
Asociativa: Para todo (Aₙ) (Bₙ) (Cₙ) pertenecientes a S tenemos que [(Aₙ)·(Bₙ)]·(Cₙ) = (Aₙ)·[(Bₙ)·(Cₙ)]
Conmutativa: Para todo (Aₙ) (Bₙ) pertenecientes a S tenemos que (Aₙ)·(Bₙ) = (Bₙ)·(Aₙ)
Elemento neutro: Se llama elemento unidad (1) = (1, 1, 1, …, 1, …)
(S,.) es un semigrupo conmutativo
Sucesión inversible:
(Bₙ) es inversible si (Bₙ) no es igual a 0 para todo n perteneciente a N*
Si el denominador es inversible se puede definir el cociente
9. Monotonía de sucesiones
Sucesiones crecientes:
"La sucesión (Aₙ) es creciente si Aₙ es menor o igual que Aₙ + 1 para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "La sucesión Aₙ es creciente si Aₙ + 1 - Aₙ es menor o igual que 0 para todo n perteneciente a N*"
Sucesiones decrecientes:
"Decimos que (Aₙ) es decreciente si Aₙ es mayor que Aₙ + 1, para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "(Aₙ) perteneciente a S es decreciente si A(n + 1) - Aₙ es menor o igual que 0 para todo n perteneciente a N*"
Sucesión estrictamente creciente:
"(Aₙ) perteneciente a S es estrictamente creciente si Aₙ es menor que Aₙ + 1 para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "(Aₙ) perteneciente a S es estrictamente creciente si A(n + 1) - Aₙ es mayor que 0 para todo n perteneciente a N*"
Sucesión estrictamente decreciente:
"(Aₙ) es estrictamente decreciente si Aₙ es mayor que A(n + 1) para todo n perteneciente a N*"
Propiedad: "(Aₙ) es estrictamente decreciente si A(n + 1) - Aₙ es menor que 0 para todo n perteneciente a N*"
• Proposición:
"Si Aₙ es estrictamente creciente entonces Aₙ es creciente pero no el recíproco"
"Si Aₙ es estrictamente decreciente entonces Aₙ es decreciente pero no el recíproco"
10. Sucesiones acotadas superiormente
"Aₙ está acotada superiormente en ℜ si existe K perteneciente a ℜ tal que Aₙ sea menor o igual que K para todo n perteneciente a N*"
Supremo:
A la menor de las cotas superiores se la llama supremo de la sucesión
Máximo:
Si el supremo pertenece a dicha sucesión se llama máximo de la sucesión
11. Sucesiones acotadas inferiormente
"Aₙ es una sucesión acotada inferiormente en ℜ si existe K2 perteneciente a ℜ tal que K2 sea menor o igual que Aₙ para todo n perteneciente a N*
Infimo:
A la mayor de las cotas inferiores se la llama ínfimo de la sucesión
Mínimo:
Si el mínimo pertenece a dicha sucesión se la llama mínimo de la sucesión
12. Sucesiones acotadas
"Aₙ perteneciente a S está acotada en ℜ si existe K1 K2 pertenecientes a ℜ tales que K2 es menor o igual que Aₙ menor o igual que K1 para todo n perteneciente a N*"
13. Sucesiones acotadas en valor absoluto
"Aₙ está acotada en valor absoluto en ℜ si existe K mayor que 0 tal que /Aₙ/ sea menor o igual que K para todo n perteneciente a N*"
• Proposición:
Si Aₙ está acotada en ℜ Aₙ estará acotada en valor absoluto en ℜ
14. Propiedades de las sucesiones acotadas
La suma de dos sucesiones acotadas es otra sucesión acotada.
El producto de dos sucesiones acotadas es otra sucesión acotada.
El producto de una sucesión acotada por un número real es otra sucesión acotada.
15. Convergencia
Llamamos sucesiones convergentes en la recta real a todas aquellas que tienen límite
• Definición 1:
"Se dice que (Aₙ) tiene por límite un número real a cuando n tiende a más infinito si para todo ε mayor que 0 existe No perteneciente a N* tal que para todo n mayor que No implica que /A₍ₙ ₋ ₐ₎/ es menor que ε"
• Definición 2:
"Se dice que Aₙ tiene por límite un número real a cuando n tiende a más infinito si para todo ε mayor que 0 existe No perteneciente a N* tal que para todo n mayor que No implica que Aₙ pertenece al entorno (a, ε)"
• Definición 3:
"Se dice que Aₙ tiene por límite un número real a cuando n tiende a más infinito si para todo ε mayor que 0 existe No perteneciente a N* tal que para todo n mayor que No implica que Aₙ pertenece a (a - ε, a + ε)"
16. Propiedades algebraicas (relacionan el límite con las operaciones algebraicas de sucesiones)
• Proposición:
Sean (Aₙ) perteneciente a S, (Bₙ) perteneciente a S tales que el límite de Aₙ es igual a a perteneciente a ℜ y el límite de Bₙ es igual a b perteneciente a ℜ y sea landa perteneciente a ℜ se verifica:
El límite de (Aₙ + Bₙ) = límite de Aₙ + límite de Bₙ = a + b
El límite de una suma es igual a la suma de sus límites
El límite de (Aₙ - Bₙ) = límite de Aₙ - límite de Bₙ = a - b
El límite de una resta es igual a la resta de sus límites
El límite de (Aₙ·Bₙ) = limite de Aₙ. limite de Bₙ = a·b
El límite de un producto es igual al producto de sus límites
El límite de un cociente es igual al cociente de los límites si Bₙ no es igual a 0 para todo n perteneciente a N*
Si Bₙ es inversible
El límite de una sucesión convergente por un número real es igual al número real por el límite de la sucesión
Si (Aₙ) es menor o igual que (Bₙ) entonces a es menor o igual que b
Propiedad de sandwich:
Si (Aₙ) es menor o igual que (Bₙ) menor o igual que (Cₙ)
Si limite de (Aₙ) es igual al límite de (Bₙ) igual a L perteneciente a ℜ
Entonces limite de (Cₙ) es igual a L perteneciente a ℜ
17. Sucesiones nulas
A las sucesiones que tienen por límite 0 se las llama sucesiones nulas o infinitesimales
Propiedades:
La suma de dos sucesiones nulas es otra sucesión nula.
El producto de dos sucesiones nulas es otra sucesión nula.
El producto de una sucesión nula por una sucesión acotada es una sucesión nula.
18. Teorema
"Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente tiene límite"
19. Límites en la recta ℜ
| Sucesión | Límite |
|---|---|
| Constante K 1/n 1/n² 1/nˣ x > 0 c/n c ∈ ℜ c/nˣ | K ∈ ℜ 0 0 0 0 0 |
20. Cálculo de un límite de cociente de polinomios Pₙ/Qₙ
1) Si el grado de Pₙ es igual al de Qₙ
Se divide al numerador y al denominador entre n de exponente el grado de los polinomios y se simplifica
Se aplica la propiedad 3 formulada a través de la proposición
Por último se toma el límite y se simplifica
2) Si el grado de Qₙ es mayor que el de Pₙ
Se divide al numerador y al denominador entre n y de exponente el grado del denominador y se simplifica
Se aplica la propiedad 3 dada a través de la proposición
Se toma el límite y se simplifica
3) Si el grado de Pₙ es mayor que Qₙ
No es convergente en ℜ
Número e: 2,718281828 …
21. Límite de potencias de sucesiones
Si el límite de Aₙ es mayor que 0
Si el límite de Bₙ es un número real
Entonces el límite de una potencia de sucesiones es igual que la potencie de los límites
22. Sucesiones convergentes a más infinito en la recta ampliada
"Se dice que una sucesión (Aₙ) tiene por límite más infinito si dado un número K mayor que 0 cualquiera existe un número natural No tal que para todo n mayor que No se verifica que Aₙ es mayor que K"
23. Sucesiones convergentes a menos infinito en la recta ampliada
"Se dice que una sucesión (Bₙ) tiene por límite menos infinito si existe un número K menor que 0 cualquiera existe un número natural No tal que para todo n mayor que No se verifica que Aₙ es menor que K"
24. Límite de una suma de sucesiones convergentes en la recta ampliada
| (Aₙ)+(Bₙ) | Límites | ||
|---|---|---|---|
| (Bₙ) (Aₙ) b Infinito -Infinito | a a + b Infinito -Infinito | Infinito Infinito Infinito - | -Infinito -Infinito - -Infinito |
25. Límite de un producto de sucesiones convergentes en la recta ampliada
| (Aₙ)·(Bₙ) | Límites | |||
|---|---|---|---|---|
| (Bₙ) (Aₙ) | a | 0 | Infinito | -Infinito |
| b | a·b | 0 | +b Infinito -b -Infinito | +b -Infinito -b Infinito |
| 0 | 0 | 0 | - | - |
| Infinito | +a Infinito -a -Infinito | - | Infinito | -Infinito |
| -Infinito | +a -Infinito -a Infinito | - | -Infinito | Infinito |
26. Límite del cociente de dos sucesiones convergentes en la recta ampliada
El siguiente cuadro muestra el valor del límite del cociente Aₙ/Bₙ en función de los límites del dividendo y el divisor:
| (Aₙ):(Bₙ) | Límites | |||
|---|---|---|---|---|
| Bₙ Aₙ | a | 0 | Infinito | -Infinito |
| b | a:b | 0 | +b Infinito -b -Infinito | +b -Infinito -b Infinito |
| 0 | - | - | - | - |
| Infinito | 0 | 0 | - | - |
| -Infinito | 0 | 0 | - | - |
27. Tipos de indeterminaciones
| (-Infinito) + Infinito Infinito + (-Infinito) 0·Infinito 0·(-Infinito) Infinito·0 | (-Infinito)·0 a:0 0:0 Infinito:Infinito Infinito:(-Infinito) | (-Infinito):Infinito -Infinito:-Infinito Infinito:0 -Infinito:0 1 elevado a infinito |
Autor: Ruben Arribas. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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