Sucesiones y series de números reales
Una sucesión de números reales es, formalmente, una aplicación x: n ∈ N ⟶ xₙ ∈ ℜ, la representaremos como (xₙ), (xₙ)n ∈ N, {x₁, x₂, …}
En el conjunto ξ de las sucesiones de números reales se definen las operaciones:
- Adición: (xₙ) + (yₙ) = (xₙ + yₙ)
- Multiplicación: (xₙ) (yₙ) = (xₙ yₙ)
- Multiplicación por escalares: λ·(xₙ) = (λ xₙ)
(ξ, +, ·, ·escalar) es en álgebra sobre r conmutativo y unitario con divisores de 0, es decir, hay elementos que no son el 0 cuyo producto es 0.
Por ejemplo: (1, 0, 1, 0, 1, 0, ………) (0, 3, 0, 3, 0, 3, ………) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, ………)
La adición es asociativa, conmutativa, neutro y opuesto.
La multiplicación es asociativa, conmutativa y con unidad
La multiplicación es distributiva respecto a la adición.
λ [μ (xₙ)] = [λ·μ]·(xₙ)
λ [(xₙ) + (yₙ)] = λ·(xₙ) + λ (yₙ)
[λ + μ]·(xₙ) = λ·(xₙ) + μ (yₙ)
1 (xₙ) = (xₙ)
λ [(xₙ) (yₙ)] = [λ·(xₙ)] (yₙ)
(ξ, +) Es un grupo abeliano
(ξ, +, ·) es anillo conmutativo y unitario |
(ξ, +, escalar) espacio vectorial sobre ℜ | + la proposición 14 álgebra conmutativa y unitaria sobre ℜ.
Definición:
(xₙ) es convergente a a, lim (xₙ) = a cuando:
∀ ε > 0, ∑ υ ∃ N /n > υ ⇒ |xₙ - a| < ε
Definición:
(xₙ) es de Cauchy cuando:
∀ ε > 0 ∑ υ ∃ N / p, q > υ ⇒ |xₚ - xq| < ε
Vimos para las sucesiones en Q que convergente ⇒ Cauchy.
Veremos para las sucesiones en ℜ que convergente ⇔ Cauchy.
Vimos para las sucesiones en Q que toda sucesión de Cauchy (o convergente) es acotada. El recíproco es falso (0, 1, 0, 1, 0, 1, ……) es acotada pero no es de Cauchy.
• Demostración:
Sea (xₙ) de Cauchy, esto significa que:
(dado 1 > 0)/ ∑ υ ∃ N /n > 0 ⇒ |xₙ - xυ| < 1
Por tanto:
|xₙ| - |xυ| ≤ |xₙ - xυ| < 1 ⇒ |xₙ| < 1 + |xυ|
Luego M = máx·{|x₁|, |x₂|, ……, |xυ - 1|, 1 + |xυ|}es tal que ∀ n ∈ N, |xₙ| ≤ M
También vimos que la suma y el producto de sucesiones de Cauchy es de Cauchy (ver construcción de ℜ a partir de Q). Ahora consideramos el producto por escalares.
Teorema:
Si (xₙ) es una sucesión de Cauchy de números reales (λ·xₙ) es también de Cauchy.
Fijemos arbitrariamente el número real r > 0.
m ≥ υ₀, n ≥ υ₀ ⇒ |xₘ - xₙ| ≤ r/λ
Luego se tiene:
|(xₘ + xₘ + … λ veces … + xₘ) - (xₙ + xₙ + … λ veces … + xₙ)| ≤ r/λ + … λ veces … + r/λ = (r/λ)·λ
Luego |(xₘ + xₘ + … λ veces … + xₘ) - (xₙ + xₙ + … λ veces … + xₙ)| ≤ r
Definición:
Se dice que a ∈ ℜ es valor de adherencia de (xₙ) cuando:
∀ ε > 0, ∀ υ ∈ N, ∃ n > υ / |xₙ - a| < ε
Es decir, en ]a- ε, a + ε[ hay infinitos, pero fuera de él pueden quedar finitos o infinitos (Ver que la definición dice exactamente lo anterior).
Ejemplos:
(1, 2, 1, 2, 1, 2, ……) Tiene a 1 y 2 como valores de adherencia.
(1, 2, 1, 3, 1, 4, ……) Tiene a 1 como único valor de adherencia.
(1, ½, 1, ⅓, 1, ¼, …) Tiene a 1 y 0 como valores de adherencia.
(1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ……) Tiene a N como conjunto de valores de adherencia.
(1, 2, 3, 4, ……) No tiene ningún valor de adherencia.
Importante: Sabemos que Q es numerable y es denso en ℜ (en todo entorno de todo número real hay infinitos racionales), por tanto existe una sucesión (xₙ) cuyo conjunto de términos es todo Q.
Al numerar Q resulta la siguiente sucesión: {0, 1/1, -1/1, ½, 2/2, 2/1, -2/1, -2/2, -½, …}
¿Cuáles son los valores de adherencia de esta sucesión? Todos los números reales (ℜ).
• Proposición:
A ⊂ ℜ es valor de adherencia de xₙ si sólo si:
- O a se repite infinitas veces en la sucesión
- O a es punto de acumulación del conjunto de los términos de la sucesión
Naturalmente pueden ocurrir las dos cosas a la vez: (0, 1, 0, ½, 0, ⅓ …)
• Demostración:
Si A es valor de adherencia de xₙ entonces ∀ ε > 0, ∀ υ ∈ N, ∃ n > υ / |xₙ - a| < ε
Luego en ]a- ε, a + ε[ hay infinitos términos de la sucesión xₙ, si en dicho intervalo no hay puntos distintos a a, a se repite infinitas veces, si por el contrario hay términos diferentes de a entonces a es un punto de acumulación de xₙ
• Proposición:
Toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia.
• Demostración:
Si el conjunto de los términos de la sucesión es finito entonces alguno se repite infinitas veces y es por tanto valor de adherencia de dicho conjunto, si es infinito, como es acotado tiene algún punto de acumulación de acumulación (teorema de Bolzano) que es, por tanto, valor de adherencia.
• Proposición:
El conjunto de los valores de adherencia de una sucesión es cerrado.
• Demostración:
Sea A el conjunto de los valores de adherencia de (xₙ). Hemos de probar cualquiera de estas dos cosas:
1° A contiene a todos sus puntos de acumulación. (Ejercicio)
2° A es cerrado.
2° Que Aᶜ es abierto significa que para todo a ∈ A ∃ r > 0 /]a - r, a + r[ ⊂ Aᶜ. Si esto no fuera cierto, en todo ]a - r, a + r[, con r > 0, habría puntos de A. Por tanto, en todo ]a - r, a + r[ habría infinitos términos de (xₙ) y a sería valor de adherencia de (xₙ), es decir a ∉ Aᶜ
Corolario:
Si (xₙ) es una sucesión acotada entonces el conjunto de sus valores de adherencia es compacto. Por consiguiente, existen el mínimo y el máximo de los valores de adherencia de la sucesión, los cuales se llaman respectivamente límite inferior de la sucesión y límite superior de la sucesión.
Ejemplos:
lim inf (1, 2, 1, 2, ……) = 1; lim sup (1, 2, 1, 2, 1, 2 ……) = 2
lim inf (1/n) = 0 = lim sup (1/n)
lim inf (1, 1,2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ……) = 1
lim sup (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ……) = no existe.
Una sucesión no acotada inferiormente (superiormente) no tiene límite inferior (superior). A veces se dice que dicho límite es "-4" (+4)
El ser acotada inferiormente (superiormente) no garantiza la existencia de límite inferior (superior). Por ejemplo (1, 2, 3, 4, ……)
Ni que decir tiene que si (xₙ) es convergente, su límite es valor de adherencia de (xₙ)
Más aún, hemos visto que toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia, (en Q esto es falso. Por ejemplo: La sucesión (1; 1,4; 1,41; 1,414; …) no tiene ningún valor de adherencia en Q. Si lo tiene en ℜ; es convergente a √2)
• Proposición:
(xₙ) acotada, es convergente si y sólo si tiene un único valor de adherencia (que es su límite).
• Demostración:
Si (xₙ) converge a a, entonces en todo intervalo ]a - ε, a + ε [ están todos lo xₙ's, salvo finitos.
Por tanto en ]-4, a - ε[ y en ]a + ε, +4[ hay solo finitos xₙ's y, por tanto, en esas semirectas no puede haber ningún punto de adherencia de (xₙ). Como eso es cierto para todo ε > 0, en ]-4, a[ y ]a, +4[ no puede haber ningún punto de adherencia. Por otra parte, ya sabemos que toda sucesión convergente es acotada.
⇒ ) (xₙ) ⟶ a ⇒ (xₙ) acotada, sólo tiene a a como valor de adherencia.
⇒ ) (xₙ) es acotada ⇒ Tiene un único valor de adherencia ⇒ (xₙ) es acotada?
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).
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