Sucesiones y series de números reales: Teorema de Riemann
Teorema de Riemann
Si ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es una serie con infinitos términos positivos e infinitos términos negativos, tal que (xₙ) ⟶ 0, y que ∑"positivos" = +4 y ∑"negativos" = -4, entonces se puede reordenar de forma que sume lo que queramos. Más aún, se puede reordenar de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como conjunto de valores de adherencia cualquier intervalo cerrado (acotado o no)
[a, a], [a, b], [a, +4[, ]-4, a], ]-4, +4[
Reordenación de ⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ/n de forma que la sucesión de sumas parciales tenga como valores de adherencia a todos los números reales.
- Sumas positivos hasta sobrepasar al 1 por la derecha
- Sumas negativos hasta sobrepasar al -1 por la izquierda
- Sumas positivos hasta sobrepasar al 2 por la derecha
- Sumas negativos hasta sobrepasar al -2 por la izquierda
- Sumas positivos hasta sobrepasar al 3 por la derecha
Ejemplo de aplicación del Teorema de Riemann
La serie:
2 - 1 + 1 - ½ + ⅔ - ⅓ + 2/4 - ¼ + ⅖ - ⅕ + …………… es alternada (+, -,+, -, +, ……) y tal que la sucesión de sus términos converge a 0.
Sin embargo esa serie no es numerable ("suma" +4).
Ocurre que la sucesión de valores absolutos de sus términos no converge monótona-mente a 0. Es decir, no verifica la condición suficiente para la sumabilidad que vimos ayer.
Definición:
Se dice que la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es absolutamente sumable cuando es sumable la serie de términos positivos, ⁴∑ₙ ₌ ₁|xₙ|
• Proposición:
Toda serie absolutamente sumable es sumable. (El recíproco no es cierto. Basta saber que ⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ/n es sumable, pero ⁴∑ₙ ₌ ₁1/n no lo es)
• Demostración:
Supongamos que ⁴∑ₙ ₌ ₁|xₙ| es sumable. Esto significa (condición de Cauchy) que ∀ ε > 0, ∑ υ ∃ N / q > p > υ ⇒ q∑₍ₙ ₌ ₚ₎|xₙ| < ε (la sucesión de sumas parciales de aquella serie es de Cauchy). Pues bien, basta tener en cuenta que:
|q∑₍ₙ ₌ ₚ₎ xₙ| ≤ q∑₍ₙ ₌ ₚ₎|xₙ| para obtener que también la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ verifica condición de Cauchy.
Teorema:
Si ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es absolutamente sumable entonces es incondicionalmente sumable (Recordemos que ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es incondicionalmente sumable (reordenable) cuando cualquiera que sea la biyección φ: N ⟶ N, ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es sumable y con la misma suma que la dada).
[Es más, absolutamente sumable ⇔ incondicionalmente sumable]
• Demostración:
Supongamos que ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es absolutamente sumable y que σ: N ⟶ N es una biyección.
Veremos primero que también ⁴∑ₙ ₌ ₁xσ (n) es absolutamente sumable y segundo que tiene la misma suma que la dada.
1°.- Que ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ es absolutamente sumable significa que: ∀ ε > 0, ∑ υ ∃ N / q > p > υ ⇒ q∑₍ₙ ₌ ₚ₎|xₙ| < ε. Esto implica que ⁴∑n = υ|xₙ| ≤ ε (Recuérdese que la suma de la serie de términos positivos ⁴∑ₙ ₌ ₁|xₙ| es el límite de (|xυ|,|xυ| + |xυ + 1|,|xυ| + |xυ + 1| + |xυ + 2|, …) el cual es igual, la sucesión es creciente, al sup {|xυ|,|xυ| + |xυ + 1|, ……}).
Por otra parte, como σ es una biyección, existe υ' ∈ N tal que {1, 2, ……, υ} ⊂ ∪ {σ (1), σ (2), …………, σ (υ)}, por tanto q > p > υ' ⇒ q∑₍ₙ ₌ ₚ₎|xσ (n)| ≤ ⁴∑n = υ|xₙ| ≤ ε ⇒ ⁴∑ₙ ₌ ₁|xσ (n)| verifica la condición de Cauchy.
2°.- Sea donde s la suma de ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ y t la suma de ⁴∑ₙ ₌ ₁xσ (n)
Queremos ver que s = t, o lo que es lo mismo, que ∀ ε > 0 |s - t| < ε
La clave de la demostración s = t está en la siguiente desigualdad:
|s - t| ≤ |s - ⁿ ∑ₖ ₌ ₁ xₖ| + |ⁿ ∑ₖ ₌ ₁ xₖ - ᵐ ∑ₖ ₌ ₁ xσ (n)| + |ᵐ ∑ₖ ₌ ₁ xσ (n)- t|
Dado ε > 0,
Por la definición de s, ∃ υ₁ ∈ N /n > υ₁ ⇒ |s - ⁿ ∑ₖ ₌ ₁ xₖ| < ε/3
Por la definición de t, ∃ υ₂ ∈ N /n ≤ υ₂ ⇒ ||ᵐ ∑ₖ ₌ ₁xσ (n)- t| < ε/3
Sabemos, además, que ∃ υ₃ ∈ N ⁴∑n = υ 3|xₙ| < ε/3 (esto estaba en la primera parte)
Por tanto, si tomamos υ ∈ N tal que υ = máx. {υ₁, υ₂, υ₃} y {1, 2, ……, υ₃} ⊂
⊂ {σ(1), σ (2), ……, σ(υ)}entonces |ⁿ ∑ₖ ₌ ₁ xₖ - ᵐ ∑ₖ ₌ ₁ xσ (n)| ≤ ⁴∑n = υ 3|xₙ| < ε/3 ⇒ |s - t| < ε (∀ ε > 0)
Hemos probado que:
Absolutamente sumable ⇔ incondicionalmente sumable (reordenable)
También es cierto:
Sumable, no absolutamente sumable ⇒ no incondicionalmente sumable (no reordenable)
(condicionalmente sumable)
Para ver esto último se procede de la siguiente manera:
1°.- Se ve que si una serie es sumable, pero no absolutamente sumable, entonces tiene infinitos términos positivos e infinitos negativos.
2°.- La serie formada por los infinitos términos positivos (negativos) no es sumable ("suma" +4 y -4, respectivamente, como ocurre por ejemplo en⁴∑ₙ ₌ ₁(-1)ⁿ/n)
3°.- La serie en cuestión, puede reordenarse de forma que la sucesión de sumas parciales tenga a cualquier intervalo cerrado como conjunto de valores de adherencia.
Criterios de sumabilidad o de convergencia para series de términos positivos:
Dada la serie ⁴∑ₙ ₌ ₁xₙ, tal que xₙ > 0, (n ∈ N), se trata de saber si esa serie es sumable o no (no de calcular su "suma").
Una cuestión esencial en este asunto, es el hacho de que la sucesión de sumas parciales de una serie de términos positivos es monótona creciente.
Por tanto, es convergente si sólo si es acotada, si sólo si lo es alguna de sus subsucesiones.
Autor: Daniel Fernández. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).