Sucesiones
Diremos que {aₙ} es convergente si:
| lim x ⟶ ∞ | aₙ = L (infinito) |
Si {aₙ} y {bₙ} son convergentes tales que:
| lim x ⟶ ∞ | aₙ = L |
| lim x ⟶ ∞ | bₙ = M |
Entonces
{aₙ} (±,*,/){bₙ} = L(±,*,/) M
Si:
| lim x ⟶ ∞ | |aₙ| = 0 ⇒ | lim x ⟶ ∞ | aₙ = 0 |
Dada {aₙ} diremos que C ∈ ℜ es una cota superior de {aₙ} si C ≥ aₙ; B ∈ ℜ es una cota inferior si B ≤ aₙ. Toda sucesión acotada, monótona (creciente o decreciente) y contínua es convergente, ya que tiende a su cota.
Series numéricas
Diremos que una serie ∑ aₙ es convergente si:
| lim x ⟶ ∞ | ∑aₙ = L (finito) |
Series Geométricas:
| ∑ n = 1 | K·r⁽ⁿ ⁻ ¹⁾ | ; K·r ∈R |
La serie geométrica converge si |r| < 1 y converge a Sₙ = k/(1 - r)
Si ∑aₙ y ∑bₙ son convergentes a A y B respectivamente entonces:
∑aₙ ± ∑bₙ = A ± B
Si:
∑C·aₙ; C = constante ⇒ C·∑ aₙ = C·A
El carácter de convergencia de una serie no cambia si se le suprimen los n primeros términos.
Si dos series coinciden a partir de un término n, las dos tienen el mismo carácter.
| Dada ∑ aₙ convergente ⇒ | lim x ⟶ ∞ | aₙ = 0 |
| ∞ ∑ n = 1 | 1 nᵖ |
Es convergente para p > 1.
Criterio de la integral
Sea y = f(x) una función contínua, positiva y decreciente en [1, +∞) y tal que f(n) = aₙ entonces:
| ∫ | +∞ | f(x)·dx |
| 1 |
y
| +∞ ∑ n = 1 | aₙ |
Tienen el mismo carácter.
Criterio de comparación
∑ aₙ y ∑bₙ de términos positivos.
Si ∑ aₙ ≤ ∑bₙ ⇒ si ∑bₙ converge se tendrá que ∑ aₙ converge. Y si ∑ aₙ diverge entonces ∑bₙ diverge.
Comparación al límite (para series de términos positivos)
Si:| lim x ⟶ ∞ | aₙ/bₙ = L (finito, positivo) aₙ ≈ L·bₙ |
Entonces si aₙ converge bₙ converge y viceversa.
Si:
| lim x ⟶ ∞ | aₙ/bₙ = 0 |
Si bₙ converge aₙ converge.
Si:
| lim x ⟶ ∞ | aₙ/bₙ = + ∞ |
Si bₙ diverge aₙ diverge.
Series alternas
| ∞ ∑ n = 1 | (-1)ⁿ ⁺ ¹·aₙ | ó | ∞ ∑ n = 1 | (-1)ⁿ·aₙ |
Criterio para series alternas.
Si:
| lim x ⟶ ∞ | aₙ = 0 |
Y {aₙ} es decreciente, entonces la serie es convergente.
Convergencia absoluta
Dada ∑ aₙ de términos de cualquier signo.
∑ |aₙ| converge ⇒ ∑ aₙ es convergente y diremos que ∑ aₙ converge absolutamente.
Si ∑ |aₙ| diverge y ∑ aₙ converge, diremos que aₙ converge condicionalmente.
Criterio de la razón
Si:
| lim x ⟶ ∞ | |a₍ₙ ₊ ₁₎|/|aₙ| = L; L < 1 |
La serie converge absolutamente.
Si L = 1 no se puede concluir. Si L > 1 la serie diverge.
Criterio de la raíz
Si:
| lim x ⟶ ∞ | |aₙ|1/n = L; L < 1 |
La serie converge absolutamente.
Si L = 1 no se puede concluir; si L > 1 la serie diverge.
Estimación del resto
Criterio de la integral.
Resto (Rₙ) = S - Sₙ = a₍ₙ ₊ ₁₎ + aₙ ₊ ₂ + aₙ ₊ ₃ + …
| ∫ | +∞ | f(x)·dx ≤ Rₙ ≤ ∫ | +∞ | f(x)·dx |
| n + 1 | n |
Para Series Alternas
|Rₙ| ≤ |a₍ₙ ₊ ₁₎| < error
Series de potencia
| +∞ ∑ n = 1 | Cₙ·(x - a)ⁿ |
Serie de potencia centrada en a
| ∞ ∑ n = 0 | Xⁿ = | 1 1 - x | ⇒ |x| < 1 |
| ∞ ∑ n = 0 | Xⁿ n! | = eˣ |
Si una serie de potencia es convergente para x = x₁ ⇒ converge absolutamente para cualquier valor de x tal que |x| < |x₁|.
Si una serie de potencia es divergente para x = x₂ ⇒ también es divergente para cualquier valor de x tal que |x| > |x₂|.
Serie de Taylor
Cₙ = fⁿ(a)/n!
De lo que se obtiene:
| f(x) = | ∞ ∑ n = 0 | fⁿ(a)·(x - a)ⁿ n! | = eˣ |
Si a = 0 entonces se habla de serie de McLaurin.
Autor: Olmo De Abreu. España.
Editor: Ricardo Santiago Netto (Administrador de Fisicanet).